放飛思維 精彩紛呈
——“超級全能生”全國卷26省3月聯考乙卷理科第15題探析與教學啟示

山東 尹承利

“超級全能生”3月聯考成功舉行，通過聯考及時檢測了學生復習備考的情況.在試卷中有許多蘊涵豐富數學思維價值的試題，本文根據數學全國乙卷理科第15題的考情及所潛在的思維功能、應用功能及拓展功能作如下探析.

一、試題呈現

二、考情分析

這是一道有著深度思維背景的考題，從考試成績分析的數據看，該題平均得分率、區分度均偏低，由下表便可窺見一斑.

題號滿分類型平均得分難度區分度參考樣本數平均得分率滿分人數155填空題0.150.029 80.080 07.6892%230

由于是填空題，我們無法從學生卷面去找到學生答題不理想的原因！但我們可以試著從試題本身的結構形式和思維量等視角略作剖析：

1.該題難度大，體現在該題的是“二元分式型的條件最值”問題，并由此使得變形、整理過程冗繁，運算量大，技巧性強.因而大多數的學生“望題生畏”、“望題興嘆”，出現解答的畏難情緒或不敢涉獵該題的情況也就不足為怪了！

2.難道說該試題就不可取嗎？恰恰相反，該題是一道能充分考查學生思維能力的優質試題，命題老師設置精當、頗具匠心.那是什么原因導致這樣的局面呢？筆者個人認為，問題還是出在備考上，就該題而言，在備考方面無論是學生的知識和方法的積累、儲備，還是學生應對思維量大的問題，分析問題的背景、將問題轉化處理的能力等都還是有所欠缺的，當遇到情景相對新一些的問題就不知所措、束手無策了.其實，解答本題時，消元→化為一元函數式→利用單調性求解；或者，代換“1”→待求式通分整理→齊次化→分離常數→直接運用基本不等式，或換元后運用基本不等式，或轉化為一元二次方程用判別式求解，這兩方面的途徑都純屬再正常不過的解題思路.至于學生作答的這么不理想，不能不說是有些遺憾的，這也為我們后面沖刺階段的備考敲響了警鐘，理應引起教師的重視.

三、解法探析

為發揮該試題的最大效益，筆者特從不同的視角給出解答該題的思維分析和幾種不同的解法，供參考.

1.思維分析

解答該題如何尋找切入點呢？條件式是整式和的形式，結論式是分式和的形式.在求最值的一些常用方法中，比如利用二次函數的最值、三角函數的最值、基本不等式等求最值，依據目標式的結構特點，我們首要想到的是運用基本不等式，這樣就初步確定求解該題的基本方向，當然也可能會有其他的方法.其次，從條件式2a+b=1獲得的信息，可大致有兩種具體求解的路徑：一是消元，轉化為一元問題求解，根據變形、轉化待求分式的情況或利用單調性，或利用基本不等式；二是，由于待求分式第二項的分母中有“1”，這就暗示可以進行“1”的代換，“1”的代換后就將分式化為了齊次式，進而或通分并分離常數，或換元轉化，變形出基本不等式的結構求解.

求解這類二元最值問題的思維導圖：

由于求解該題的方向、方法均確定了，便有了下面具體的求解方法.

2.解法賞析

分析1.首先進行“1”的代換：1=2a+b，化為關于a,b的二次齊次分式后變形為基本不等式的結構形式，利用基本不等式求得最值.

【點評】該解法將目標式整理為關于a,b的二次齊次分式后，分離常數，進而轉化為運用基本不等式的結構形式求解，技巧性較強.

分析2.首先進行“1”的代換：1=2a+b，化為關于a,b的二次齊次分式后，進行雙變量換元，變形為基本不等式的結構形式，利用基本不等式求得最值.

令a+2b=m,a+b=n(m>0,n>0)，則a=2n-m,b=m-n，所以

【點評】對于通過“常值代換”轉化成兩項一元齊次分式和的一類二元條件最值問題，利用雙變量換元法求解十分奏效.

【點評】該解法把目標式變形整理作比后，再換元化為關于新元的一元二次方程，利用判別式法求解.

分析4.由2a+b=1，得b=1-2a，消元轉化為關于a的二次齊次分式后，利用導數求解.

【點評】該解法通過消元，化為關于a的一元函數式，求導利用單調性求解.這也是求解二元條件最值問題常用的一條途徑.

四、問題變式

俗話說：鐵打的盤，流水的兵.高考中不變的是知識，變化的是情景的呈現形式和問題的結構方式.這就要求我們面對典型的數學問題時，能突破常規，多做變式工作，使學生做一個題，會一類題、一串題.

僅僅改變一下問題的條件式的背景，可有變式1～4.

略解：由點(a,b)在線段2x+y=1(x>0,y>0)上，得2a+b=1(a>0,b>0).下同上面的方法.

略解：由點(1,1)恒在函數y=2ax+b(a>0且a≠1,b>0)的圖象上，得2a1+b=1(a>0且a≠1,b>0)，即2a+b=1(a>0且a≠1,b>0).下同上面的方法.

略解：因為m·n=-1，所以-2a-b=-1，即2a+b=1(a>0,b>0).下同上面的方法.

所以2a+b=1(a>0,b>0).下同上面的方法.

問題的條件式不變，改變待求的分式的形式，可有變式5.

注：本題是將目標式化為兩個一次齊次分式和的形式后，利用雙變量換元，轉化為基本不等式的結構求解的.

既稍加改變條件式，同時又改變待求的分式，可有變式6.

逆向考慮問題，可有變式7.

設2a+b=m，2b+a=n(m>0,n>0)，

注：已知條件式是“和的形式”，目標式是“積的形式”，從而聯想到基本不等式，采用“1的代換”，把目標轉化為一次齊次分式后，進行雙變量換元，問題得以解決.

將問題中的條件等式換為不等式，同時改變待求的分式，可有變式8.

設u=t-2(u>0)，則

注：本變式的條件式是不等關系式，應特別注意換元后新元的范圍跟進.本題解法中進行了兩次換元，最后轉化構造出基本不等式的結構形式求解.

若進一步強化條件，將問題中的條件等式加強為不等式，同時改變待求的分式，可有變式9.

注：首先分析出條件中的不等式與待求式在結構上的聯系，然后進行代換，構造出基本不等式的結構，利用基本不等式放縮求解.運用放縮技巧時，要注意放或縮的一致性，并且特別注意各步的放或縮是否可以同時取得等號.

二元條件最值問題，不止是“分式型”，在高考或各地模擬題，或是各類競賽題中“整式型”的問題也常出現，結合聯考題化為二次齊次式的式子，這里可有變式10.

變式10.已知正實數a,b滿足a2+3ab+2b2=1，則a2+2ab+2b2的最小值是 ．

解析：(單變量換元法)由a2+3ab+2b2=1，得(a+b)(a+2b)=1.

由于a,b均為正實數，則有a+b>0，所以k>0.

五、題型規律

二元函數的條件最值問題，因其注重考查考生的綜合思維能力，具有很好的區分功能，能夠很好地考查學生的數學思維能力，一直備受命題者的青睞.此類問題求解時往往技巧性特別強，學生不易掌握.儲存、掌握這類問題的模式和解決的方法是解答的關鍵.

根據問題的結構特征，解答二元函數的條件最值這類問題所用的數學思想是：常量(“1”)代換和齊次化；所用的方法途徑通常有三個：①將函數式變形轉化后，直接利用基本不等式，如聯考題解法1；②將函數式變形轉化后，消元轉化為一元函數利用基本不等式或函數的單調性，如聯考題解法4；③將函數式變形轉化后，換元，利用基本不等式求解，如聯考題解法3，或轉化為一元二次不等式利用判別式工具求解，如聯考題解法2；其中換元又分為單變量換元，如變式10的解法，雙變量換元，如聯考題解法2.

六、教學啟示

如何利用“變式教學”來促進學生數學核心素養的形成和發展，是當前數學教學研究的重要課題，也是《普通高中數學課程標準》的要求，為此《教學考試》為我們提供了一個良好地展示自我的平臺，我們應懷有一顆虔誠的心，順勢而為.

1.數學問題的“變式教學”，不能僅僅滿足讓學生掌握幾種解題方法，更重要的是著眼于學生的進一步發展，通過各種方法的對比，教會學生如何挖掘問題條件蘊含的內容，學會看準目標，優化解題思路.當然，過程體會與循序而導對于學生的思維品質提高、解法自然生成也有決定性的作用.我們在關注解法的同時，更讓學生經歷“如何想到這樣解”的思路歷程.這樣的話，解題的思想方法才會得到較充分的落實.