常考常新的拋物線的性質(zhì)

山東 華 偉

一年一度的高考落下帷幕，總有一些題目值得我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)咀嚼、久久回味.2018年全國卷Ⅰ文第20題就是一道平中見奇，彰顯真功的優(yōu)美試題，其中所蘊(yùn)涵的拋物線的性質(zhì)常考常新.這里，從不同的視角作一些有益的探討，供大家參考與指正.

一、試題展現(xiàn)

(2018·全國卷Ⅰ文·20)設(shè)拋物線C：y2=2x，點(diǎn)A(2，0)，B(-2，0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn).

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(Ⅱ)證明：∠ABM=∠ABN.

解析：(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時，l的方程為x=2，可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).

(Ⅱ)當(dāng)l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN.

當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，則x1>0,x2>0.

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以∠ABM=∠ABN.

綜上，∠ABM=∠ABN.

點(diǎn)評：這道高考題文字表述簡潔、清晰，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系和數(shù)據(jù)處理能力，深刻反映了解析幾何的數(shù)學(xué)本質(zhì).解析幾何問題的本質(zhì)就是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形的性質(zhì)，幾何問題代數(shù)化是解析幾何的本質(zhì).處理解析幾何問題的關(guān)鍵在于找到最好的方法解決問題.借助數(shù)形結(jié)合，大膽運(yùn)用平面幾何相應(yīng)的性質(zhì)，相比用固定解題程序，能更快地找到簡捷的解題方法.

二、試題拓展

將上述高考題中的(Ⅱ)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì)拓展為一般情形，可有下面常考常新的“經(jīng)典”性質(zhì)：

性質(zhì)1.已知點(diǎn)B(t,0)(t<0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于不同的兩點(diǎn)P,Q，若直線l過定點(diǎn)(-t,0)，則x軸是∠PBQ的角平分線.

性質(zhì)2.已知點(diǎn)B(t,0)(t<0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線，則直線l過定點(diǎn)(-t,0).

這兩條性質(zhì)是近年來高考和各類考試的命題熱點(diǎn)之一，但呈現(xiàn)在大家面前的問題可能是進(jìn)行了某種程度的改頭換面，或者進(jìn)行了適當(dāng)?shù)淖兪交虬b，只要能看透變式與包裝背后的本質(zhì)性的東西，那么問題無論如何變幻莫測，解決起來總能游刃有余和得心應(yīng)手的.

三、相關(guān)鏈接

鏈接1.(2013·陜西卷理·20)已知動圓過定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)B(-1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn).

分析：此題(Ⅱ)實(shí)質(zhì)上是上面性質(zhì)的一種變式說法，或者說是用一個新的角度來展示的.易知直線l過定點(diǎn)(1，0).

(Ⅰ)當(dāng)k=0時，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(Ⅱ)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN?請說明理由.

分析：此題(Ⅱ)實(shí)質(zhì)上也是上面性質(zhì)的一種呈現(xiàn)形式，只不過是把焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸改成了y軸.易知存在點(diǎn)P(0,-a)，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN.

(Ⅱ)先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將y=kx+a代入曲線C的方程整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用a表示出來，利用直線PM，PN的斜率之和為0，即可求出a，b的關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)，坐標(biāo)為P(0,-a).

鏈接3.(2015·福建卷文·19)已知點(diǎn)F為拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上，且|AF|=3.

(Ⅰ)求拋物線E的方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)G(-1,0)，延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

分析：此題(Ⅱ)中，以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切，說明x軸是∠AGB的角平分線.實(shí)質(zhì)上還是GA,GB與x軸所成的銳角相等的一種變式說法.

(Ⅱ)欲證明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.可證明∠AGF=∠BGF，可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)，即證明kGA+kGB=0.從而∠AGF=∠BGF，這表明點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.

鏈接4.(2018“超級全能生”臨考押題卷文)已知P(-3,0)，直線l交拋物線C:y2=4x于A,B兩點(diǎn).

(Ⅰ)若直線l經(jīng)過P點(diǎn)，求直線l斜率的取值范圍；

(Ⅱ)當(dāng)直線l變化時，總有∠OPA=∠OPB，則直線l是否過定點(diǎn)？說明理由.

(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為x=ky+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由∠OPA=∠OPB，說明kPA=-kPB，即kPA+kPB=0.聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，代入kPA+kPB=0，建立k與m的關(guān)系，根據(jù)l的方程判斷直線l恒過定點(diǎn)(3,0).

點(diǎn)評：鏈接4是教學(xué)考試雜志社的原創(chuàng)研發(fā)項目第三階段的轉(zhuǎn)化成果《2018高考命題預(yù)測與題·臨考押題卷》中的一道試題，與上面的高考題可謂“同題”，更可以說是押中了2018年全國卷Ⅰ的高考題，足以說明教學(xué)考試雜志社在研究和指導(dǎo)高考上顯示出深厚的功力.

四、教學(xué)啟示

1.一道精彩的高考試題之所以能引起大家的共鳴，不是因為其獨(dú)特的解題技巧，而是其中所蘊(yùn)涵的思想方法，在一定程度上能夠指導(dǎo)教師根據(jù)學(xué)生駕馭知識的實(shí)際情況，調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，以及根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段和方法.本文中的試題看似素材平實(shí)，但求解過程精彩紛呈，妙趣橫生，真可謂是一道平中孕奇、素養(yǎng)天成的好題.在日常教學(xué)的過程中，教師要精心選取這樣極具代表性的一題多解、多題一解的題目作為練習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.解題是一種創(chuàng)造性的活動，是理論到實(shí)踐的過程.通過學(xué)生解題的過程可以發(fā)現(xiàn)：有一些題目的類似題或者原題已經(jīng)教了許多遍，但是學(xué)生還是不能很好地掌握.因此，在教學(xué)中教師要陪伴學(xué)生筑造數(shù)學(xué)知識的形成之路，而不是在某些經(jīng)典的知識點(diǎn)或者試題上“一滑而過”.正如波利亞曾形象地指出：“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆的生長，找到一個之后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找一找，很可能就有幾個.”在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計有探究價值的題目，鼓勵學(xué)生參與其中，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.