研究圓錐曲線的一些結論的必要性

安徽 喬明東 張 威

圓錐曲線是高考考查的重點和難點，也是熱點，是高考中區(qū)分度較大的題目，題型有選擇題、填空題、解答題，難度一般是中檔以上.而在高考真題中一般是以圓錐曲線的定義、簡單幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系為命題角度，其中一部分是有著很強的結論性背景的題目.可見研究圓錐曲線的一些結論是必要的.那么研究這些結論到底有什么好處呢？筆者有以下幾點認識.

一、“秒殺”客觀題

在高考數(shù)學試卷中，客觀題所占的分值比較高，考查的知識覆蓋面廣，小巧靈活，又有一定的綜合性和深度，能否快速準確的得到答案，為解答題贏得更多的時間，就顯得至關重要.而客觀題中的圓錐曲線題一般計算都稍顯復雜，如果采用小題大做的方法，是不明智的選擇.比如2018年高考全國卷Ⅲ理科第16題.

【例1】已知點M(-1，1)和拋物線C:y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB=90°，

則k= ．

【題目分析】此題是填空題的壓軸題，從所處的位置來看，就使得一部分學生畏縮不前.同時如果作為解答題來求解，又要花費很長時間，而且可能由于計算的失誤，導致結果錯誤.但是如果理解此題的結論背景，就可以快速求解.那么此題隱含了什么樣的結論呢？具體如下：

若拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且斜率為k的直線l與C交于A,B兩點.

【評注】可以發(fā)現(xiàn)此題利用結論進行求解是非常快的，所以對于客觀題盡可能的采取小題小做，或者小題不做的策略，快速智取.像這樣具有結論性背景的圓錐曲線客觀題在2018年高考真題中比比皆是.

二、增強解題的信心和提供解題思路

在高考數(shù)學試卷中，圓錐曲線解答題一般設置兩問，尤其是第二問，思維性和計算性要求都很高，屬于較難題.在求解的過程中，可能出現(xiàn)有思路，而無法運算到底，也可能一點思路都沒有.而如果了解了題目的結論性背景，不僅可以提供思路，而且還可以提前得到答案.比如2018年高考全國卷Ⅰ理科第19題.

(Ⅰ)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

【題目分析】在近幾年高考中，圓錐曲線作為解答題一般出現(xiàn)在第20題，而2018年卻出現(xiàn)在第19題，對于題目本身難度雖有所降低，但從整卷位置看來，此題權重很大，所處的位置是一個基礎分和拔高分的分水嶺.同時在大多數(shù)學生的思維中，圓錐曲線屬于難題，還沒有審題，就有畏難情緒，極易讓學生心生“澎湃”，所以是否能夠正確解答和快速解答就會直接影響學生解答其余題目的信心.那么如果知道此題的結論性背景，無疑給自己打了一針“強心劑”，同時如果進一步了解結論的推導過程，則題目即可迎刃而解了.那么此題有什么樣的結論性背景呢？具體如下：

對于例2，從所給的條件來看，完全符合上述結論，當發(fā)現(xiàn)該題的結論性背景時，內心一片“竊喜”，同時增加了一種信念——這題會做.再結合該結論的推導過程(利用直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理建立未知量的等量關系，從而得到kMA+kMB=0，繼而得到∠OMA=∠OMB)，故可以對例2進行快速求解，具體如下：

因為直線l過x軸上定點，故直線l的方程可設為x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，

所以即證明y1(x2-2)+y2(x1-2)=0，即只需要證明y1(my2-1)+y2(my1-1)=0，

當m=0時，由橢圓對稱性可得∠OMA=∠OMB；

又當直線l與x軸重合時， ∠OMA=∠OMB=0°.

綜上所述∠OMA=∠OMB.

【評注】可以發(fā)現(xiàn)，掌握了結論及其推導過程，既增強了解題的信心，又快速有了解題思路，這個在高考中是多么難能可貴.同時此題解法較多，在此只給出一種比較常見的通法.同時在求解的過程中，要特別注意對斜率的討論，以免由于不嚴謹被扣分.

三、能快速抓住題目的本質，繼而解決一類題

如何解決一類題，筆者認為只要抓住這一類題的本質即可.那么什么是題目的本質呢？本質就是事物的根本性質.認識事物的本質就是把握事物的必然性，規(guī)律性.本質隱藏在現(xiàn)象中，不能被感官直接把握，只能由思維來揭示.為此我們在分析和解決數(shù)學問題時,應通過對題目條件和結論的細致觀察，充分比較，深入分析，廣泛聯(lián)想，抓住其本質.只有這樣，我們才能提綱挈領,居高臨下地洞察問題的癥結，從而制定出一種解決問題的方法，即通性通法.而以結論為背景的圓錐曲線題，其本質即為其結論，以同一個結論為背景的不同題目很多，絕大多數(shù)只是設問角度不同，只要抓住其結論及推導方法，問題就能迎刃而解.比如下面這道以例2所對的結論為背景的原創(chuàng)題.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設直線l與x軸的交點為M，當直線l變化(l不與x軸重合)時，若|MA||PB|=|MB||PA|,求點M的坐標．

(Ⅱ)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，l的方程為x=ky+m，代入橢圓方程并整理得

(3k2+4)y2+6kmy+3m2-12=0，

由Δ=(6km)2-4(3k2+4)(3m2-12)>0，

解得m2<3k2+4，

因為∠OPA=∠OPB，所以kPA=-kPB，即kPA+kPB=0.

【評注】通過此題可以發(fā)現(xiàn)，只要掌握了這個結論，那么以這個結論為背景命制的試題，其解法基本上是一樣的.同樣的這個結論也可以推廣到以雙曲線、拋物線為背景的試題中去，比如2018年高考全國卷Ⅰ文科第20題.

四、拓寬原創(chuàng)試題的“道路”

利用教師個人命制的原創(chuàng)試題來檢驗和鞏固學生所學的知識是教師的一項重要的、經(jīng)常性的工作.而拓寬個人原創(chuàng)試題的“道路”更是教師一項重要的和長期性的工作.筆者認為掌握圓錐曲線的一些結論，是拓寬圓錐曲線題的原創(chuàng)“道路”的一種重要方法.如例3就是以圓錐曲線的一個結論為背景的原創(chuàng)試題，再比如2018年高考全國卷Ⅱ文科第11題.

【例4】已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為

( )

【題目分析】此題考查橢圓的簡單幾何性質，難度屬于中檔.要想以此為背景進行原創(chuàng)試題或變式，那么必須要抓住題目的實質，而此題的實質恰是橢圓的一個結論，具體如下：

通過上述結論，可以原創(chuàng)如下試題：

答案：∠F2PF1=120°.

【評注】通過上述原創(chuàng)試題，可以發(fā)現(xiàn)，不僅可以通過改變題干，也可以通過改變設問角度進行原創(chuàng)，只要抓住這個結論即可.

五、提升分析問題和解決問題的能力

發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的目的是為了解決問題.能否解決問題,就必須要從題干上、設問上和題目所蘊含的結論上入手，這樣才能真正地解決問題.而如何挖掘出題目所蘊含的結論，需要對題目進行反思,反思的過程即是一個發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的過程，這個過程不僅提升了分析問題和解決問題的能力，也鞏固了題目本身所對應的知識.