細品真題 多解拓展
——2018年全國卷Ⅰ理第19題

江蘇 韓文美

著名數學家、教育學家G·波利亞在《怎樣解題》一書中指出：“好題目和某種蘑菇有點相似之處：它們都是成串成長，找到一個以后，我們應該看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的．”2018年高考過后，數學風云，創新無限，名題如云，美不勝收．特別是2018年高考全國卷Ⅰ理第19題，背景簡單，立意新穎，思想豐富，知識融合，動靜結合，實屬難得，是名題中的一大精品，具有非常好的學習、觀摩、研究、拓展的價值．

一、真題在線

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB．

分析：本題涉及橢圓的方程與幾何性質，直線與橢圓的位置關系，直線的方程與斜率，考查函數與方程思想，數形結合思想，化歸與轉化思想等．解題的關鍵是證明∠OMA=∠OMB時所切入的角度，可以利用直線的斜率和為零，也可以利用角平分線的性質，還可以利用幾何法、參數方程法等方法．不同的切入點有不同的解法，多點思維，多向開花．

二、多向思維

當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果．

【解析】方法1：(標準答案)

(1)由已知得F(1，0)，則直線l的方程為x=1，

(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB；

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB；

綜上，∠OMA=∠OMB．

方法2：(標準答案的改進)

(1)同方法1；

(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB；

綜上，∠OMA=∠OMB．

方法3：(角平分線的性質法)

(1)同方法1；

(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

當l與x軸不重合時，設l的方程為x=my+1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x軸為∠AMB的平分線，則有∠OMA=∠OMB，

綜上，∠OMA=∠OMB．

方法4：(幾何法)

(1)同方法1；

(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

分別過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為D，E，

綜上，∠OMA=∠OMB．

方法5：(對稱性法)

(1)同方法1；

(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

當l與x軸不重合時，設l的方程為x=my+1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

根據橢圓的對稱性，∠OMA=∠OMB等價于點B關于x軸的對稱點B′(x2，-y2)在直線AM上，

所以∠OMA=∠OMB．

方法6：(向量法)

(1)同方法1；

(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

當l與x軸不重合時，設l的方程為x=my+1(m∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由于∠OMA=∠OMBcos∠OMA=cos∠OMB2my1y2-(y1+y2)=0，

所以∠OMA=∠OMB．

方法7：(參數方程法)

(1)同方法1；

直線MA，MB的斜率之和為

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB．

三、變式拓展

通過該題深入分析，改變條件，拓展思維，可以得到意想不到的效果，真正達到“認真解答一個題，拓廣解決一類題，變式深化一片題，思維能力一起升”的美好目的．

變式方向1：改變證明結論，目標更為明確，難度相當

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)試確定直線MA，MB的斜率之和為kMA+kMB是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

解析：(1)由已知得F(1，0)，l的方程為x=1，

(2)直線MA，MB的斜率之和為kMA+kMB=0，為定值．

當l與x軸重合時，kMA+kMB=0；

故直線MA，MB的斜率之和為kMA+kMB=0，為定值．

點評總結：根據高考真題以及變式1，可得一般性的結論：

變式方向2：改變圓錐曲線類型及其相關條件，難度相當

(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB．

解析：(1)由已知得F(3，0)，l的方程為x=3，

(2)當l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°；

從而kMA+kMB=0，故MA，MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB；

綜上，∠OMA=∠OMB．

點評總結：根據變式2，可得一般性的結論：

變式方向3：改變圓錐曲線類型及其相關條件，難度相當

【變式3】(2018·全國卷Ⅰ文·20)設拋物線C：y2=2x，點A(2，0)，B(-2，0)，過點A的直線l與C交于M，N兩點．

(1)當l與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN．

解析：(1)當l與x軸垂直時，直線l的方程為x=2，可得M的坐標為(2，2)或(2，-2)，

將x1=my1+2，x2=my2+2及y1+y2，y1y2的表達式代入①式分子，可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2my1y2+4(y1+y2)=-8m+8m=0，

所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的傾斜角互補，所以∠ABM=∠ABN．

點評總結：根據變式3，可得一般性的結論：

【定理3】已知點M(m，0)，N(-m，0)(m≠0)與拋物線C：y2=2px(p>0)，過點M作與x軸不平行的直線l交拋物線C于A，B兩點，則直線AN，BM與x軸成等角．