對一道高三模擬題的多視角探析及思考

江蘇 陳業(yè)代

高三復(fù)習(xí)階段，許多學(xué)生都感覺解析幾何題難度大、運(yùn)算繁，若題目稍有“拐彎抹角”，就無計可施，甚至不能理解題意，不會運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，不能化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡單，方向感不明確，當(dāng)然就找不到解決問題的最佳途徑．最近筆者所教班級做了2017年南通、泰州市高三一模涉及圓的一道模擬題，全班45人參考，3人會做，僅有1人做對．從學(xué)生中了解到的情況是不知從何處下手或涉及變量太多不敢算下去．

1．問題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)，且AB⊥AC，則線段BC的長的取值范圍是 .

2．問題探析

視角1 “基本不等式”法——已知兩點(diǎn)B,C在圓上且通過條件“AB⊥AC”聯(lián)系起來，顯然通過設(shè)點(diǎn)B(a,b),C(c,d)建立三個等式，運(yùn)用等式的恒等變形和基本不等式相關(guān)知識即可求解．

解析：設(shè)B(a,b),C(c,d)，

即ac+bd=a+c+b+d-2，

∵B,C在圓x2+y2=4上，

整理得(a+c)2+(b+d)2=8+2(ac+bd)，

令ac=m,bd=n，

評注：這是一道填空小題，這么完成的推理過程對運(yùn)算能力要求很高，耗時是必然的，經(jīng)詢問學(xué)生用了近15分鐘，顯然這個方法“性價比”不高．

則(x-1,y-1)=(x1+x2-2,y1+y2-2)，

∴(x1-1,y1-1)·(x2-1,y2-1)=0，x1x2+y1y2-x1-x2-y1-y2=-2，

解析：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，設(shè)OD=d1,OE=d2，由平面幾何知識得，

∵AB⊥AC，

評注：這個解法運(yùn)算簡單，但思維量較大，要具備較高的邏輯推理能力，另外，學(xué)生不易想到構(gòu)造距離．

視角4 “純幾何”法——運(yùn)用矩形性質(zhì)直接探索出點(diǎn)P的軌跡．

評注：顯然此解法比較簡單，比較適合解填空題，但是這個矩形性質(zhì)不常用，沒參加過競賽輔導(dǎo)的學(xué)生也是不易想到的．

3．幾點(diǎn)思考

(1)本題是從四個不同視角探求并解決問題，方法各有千秋，為了補(bǔ)償糾正以達(dá)到高三復(fù)習(xí)效果，可作如下變式：

在直角坐標(biāo)系中，圓C1:x2+y2=4，圓C2:x2+y2=16，點(diǎn)M(1，0)，動點(diǎn)P,Q分別在圓C1和圓C2上，滿足MP⊥MQ，則線段PQ長的取值范圍是 .

(2)本題是解析幾何綜合題中的一個代表，視角1易想難算，視角2、視角3、視角4難想易算，這是解析幾何的最大特點(diǎn)，即要么運(yùn)算量大，要么思維量大，作為考試題具有一定選拔功能．從四種解法可總結(jié)出共性問題，即涉及長度問題轉(zhuǎn)化為上，這就是我們常說的通性通法．這就需要我們把它貫穿于平時的教學(xué)當(dāng)中去，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果最大化．

(3)本題作為填空題，顯然無法展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，能完成本題解答的學(xué)生很少，作為考試題，區(qū)分度不大，大都不會做，失去了考查的目的，如果改成解答題，那么學(xué)生還能寫點(diǎn)東西，能體現(xiàn)出學(xué)生多樣的思維方式和層次性，這樣效果應(yīng)該會更好些．

(4)最直接的選擇未必是選擇最好的，在上面四種解法中，為什么學(xué)生都會從最煩瑣的方法1開始探求呢？因?yàn)閷W(xué)生喜歡憑感官直覺，其實(shí)稍加分析，視角2也是容易接受的，其他幾個視角解析途徑都“很棒”，卻是學(xué)生最不易想到的，為了選拔考試，把題做對才是“王道”，因此，在高三解題教學(xué)中，要教會學(xué)生對待解決問題的方案要善于選擇，選擇適合自己的方法，適合的才是最好的．當(dāng)然平時對學(xué)生也要加強(qiáng)思維層次訓(xùn)練，好方法不是教師教出來的，而是組織學(xué)生研討由學(xué)生總結(jié)感悟出來的．

4．一點(diǎn)感悟