概率問題中易錯點剖析

安徽 唐錄義 江勇琴

概率是高中數學相對獨立的內容,其有關知識不易于理解，常導致學生在學習的過程中產生疑惑或出現錯誤.本文在慎思、明辨的基礎上試著對概率學習中的易錯點逐一進行解讀.

【易錯點1】兩個原理混淆不清

【案例1】體育場南側有4個大門，北側有3個大門，某學生到該體育場練跑步，則他進出門的方案有

( )

A.12種 B.7種 C.24種 D.49種

【考點涉及】計數原理.

【錯解呈現】學生進出體育場大門需分兩類，一類從北側的4個門進，一類從南側的3個門進，由分類計數原理，共有7種方案，故選B.

【錯點查找】應當考慮第一步進門，第二步出門.而不是一類從北側的4個門進，一類從南側的3個門進.

【出錯歸因】心理性失誤，審題疏忽，看錯或看漏條件，沒有審清題意.本題不僅要考慮從哪個門進，還需考慮從哪個門出，應該用分步計數原理去解題.

【正解參考】學生進門有7種選擇，同樣出門也有7種選擇，由分步計數原理，該學生的進出門方案有7×7=49種，故選D.

【反思總結】計數問題是高中數學的重要問題之一,排列組合是特殊的計數問題,也是高考考查的經典內容之一,通常以選擇題或填空題的形式出現,有深厚的實際應用背景.此類問題概念性強,思考方法和解題技巧特殊.掌握“分步相乘、分類相加、有序排列、無序組合”的原理和方法,并能加以靈活運用是解決問題的關鍵.

【易錯點2】分類、分步時產生重復或遺漏

【案例2】五封不同的信投入四個郵筒.

(Ⅰ)無要求投完五封信，有多少種不同投法？

(Ⅱ)每個郵筒中至少要有一封信，有多少種不同投法？

【考點涉及】計數原理.

【錯解呈現】(Ⅰ)對每封信來說，有4種投法，分五步把這些信都投完，則共有4×4×4×4×4=45種投法.

(Ⅱ)第一步先選出一封信不投，有5種情況，第二步把另外4封往四個筒里各投一封，有4×3×2×1=24種投法，第三步再把剩下的信投入任意一個筒內，有4種投法，故有5×24×4=480種投法.

【錯點查找】(Ⅱ)問中間有重復現象.

【出錯歸因】心理性失誤 ，審題疏忽，看錯或看漏條件.

【正解參考】(Ⅰ)對每封信來說，有4種投法，分五步把這些信都投完，則共有4×4×4×4×4=45種投法.

(Ⅱ)5封中選一封，有5種選法. 剩下四封往四個筒里各投一封，有4×3×2×1=24種投法.再把剩下一封信投完，有4種投法. 因為都重復了一次，所以相乘再除以2，即5×24×4÷2=240種.

【反思總結】通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理的實際應用情況及場景；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題.培養對自己的學習狀態進行審視的意識和習慣，善于總結經驗.

【易錯點3】對有關元素的特殊排組模式識別不準

【案例3】將三名男生、四名女生按照這樣的要求排隊：全體站成一排，女生不能排在一起.求共有多少種排法.

【考點涉及】計數原理，排列組合.

【錯點查找】先排女生，男生插空會有空沒填滿，即有女生排在一起的情況出現，如果題目是男生不能排在一起，此法可行.

【出錯歸因】審題疏忽,理解不透,顛倒對象.有知識性失誤.

【反思總結】在排列組合中，經常會遇到相鄰和不相鄰問題的模型，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法.通俗地說，誰相鄰誰捆綁，當作一個元素與其余元素再排；誰不相鄰誰插空，其余元素先排再插空.審題要仔細，理解要透徹，模式識別要準確.

【易錯點4】對二項式定理中展開式和通項公式記憶不準

【案例4】(2015·全國卷Ⅱ理·15)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為32，則a=________.

【考點涉及】會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.

【出錯歸因】考慮問題不周全，不嚴密，屬心理性失誤.

【正解參考】由已知得(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4，所以(a+x)(1+x)4的奇數次冪項分別為4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系數之和為4a+4a+1+6+1=32，解得a=3.

【反思總結】二項式定理主要的兩個公式就是

掌握了這兩個公式可以用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題，進而掌握二項式定理的基本知識和基本技能，達到雙基.只有雙基扎實，解題才有底氣，才能從根本上克服心理性失誤.

【易錯點5】幾何概型中對基本事件和樣本空間對應的圖形把握不準確

( )

A.p1

B.p2

C.p3

D.p3

【考點涉及】幾何概型概率的概念和計算，積分求面積.

【錯解呈現】由概率公式，觀察圖象知：

滿足p2

【出錯歸因】混淆概念性質，導致計算失誤，認知結構欠缺，導致邏輯性失誤.

【正解參考】由概率公式，觀察圖象知：

滿足p2

【反思總結】幾何概型的概率計算，關鍵在于確定事件所對應的圖形和計算圖形的量度(角度、長度、面積、體積等)，難點在于畫出圖形，以及計算不規則圖形的面積.本題在計算S3時容易出現失誤，可能由于混淆概念性質，把反比例函數圖象誤當作圓，導致計算失誤.也可能認知結構欠缺，忘記了用積分法求曲邊梯形面積的方法，就以圓面積代替，導致邏輯性失誤.

【易錯點6】古典概型中對基本事件和樣本空間把握不準確

【案例6】(2015·天津卷文·15)設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27,9,18，現采用分層抽樣的方法從這三個協會中抽取6名運動員組隊參加比賽.

(Ⅰ)求應從這三個協會中分別抽取的運動員的人數；

(Ⅱ)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽.

(ⅰ)用所給編號列出所有可能的結果；

(ⅱ)設A為事件“編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發生的概率.

【考點涉及】抽樣方法、古典概型概率的概念和計算.

【錯解呈現】(Ⅱ)(ⅰ)從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A1,A6}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}，共15種.

(ⅱ)編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1,A5}，{A1,A6}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，共8種.

【錯點查找】(Ⅱ)(ⅱ)小問中編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果中漏掉A5和A6的兩名運動員同時被選到的情況.

【出錯歸因】審題疏忽，看錯或看漏條件，也可能抑制思維，導致低級錯誤.

【正解參考】(Ⅰ)應從甲、乙、丙三個協會中抽取的運動員人數分別為3，1，2.

(Ⅱ)(ⅰ)從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1,A2}，{A1,A3}，{A1,A4}，{A1,A5}，{A1,A6}，{A2,A3}，{A2,A4}，{A2,A5}，{A2,A6}，{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A6}，{A4,A5}，{A4,A6}，{A5,A6}，共15種.

【反思總結】在古典概型中要對基本事件和樣本空間把握精準，要認真審題，不放過任何條件，任何信息，要慎思之、明辨之.

【易錯點7】條件概率模型辨析模糊

【案例7】(2010·安徽卷理·15)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是 (寫出所有正確結論的編號).

③事件B與事件A1相互獨立;

④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件;

⑤P(B)的值不能確定，因為它與A1,A2,A3中究竟哪一個發生有關.

【考點涉及】隨機事件的概率，條件概率和互斥事件.

【錯解呈現】正確的是①③④.

【錯點查找】以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，沒有考慮“先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球”的前提.

【出錯歸因】雙基不實，審題疏忽，混淆概念性質.

【易錯點8】事件的符號表示不準確

【案例8】(2015·北京卷理·16)A,B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間(單位：天)記錄如下：

A組：10，11，12，13，14，15，16;

B組：12，13，15，16，17，14，a.

假設所有病人的康復時間相互獨立，從A,B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙.

(Ⅰ)求甲的康復時間不少于14天的概率；

(Ⅱ)如果a=25，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；

(Ⅲ)當a為何值時，A，B兩組病人康復時間的方差相等？(結論不要求證明)

【考點涉及】古典概型概率計算，獨立事件，互斥事件，方差.

【錯解呈現】設事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bj為“乙是B組的第j個人”，i,j=1,2,3,…,7.

(Ⅱ)設事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長”，則C包含基本事件：

{A4B1,A5B1,A5B2,A6B1,A6B2,A6B6,A7B1，A7B2,A7B3，A7B6}

【錯點查找】第Ⅱ問過程表述不清，運用概率概率加法公式沒有考慮互斥條件、乘法公式沒有考慮相互獨立條件.

【出錯歸因】符號語言表述障礙，推理不嚴謹，屬邏輯性失誤

【正解參考】設事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bj為“乙是B組的第j個人”，i,j=1,2,3,…,7.

(Ⅰ)由題意知，事件“甲的康復時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人，或者第6人，或者第7人”甲的康復時間不少于14天的概率是

(Ⅱ)設事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長，”

由題意知C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，

(Ⅲ)由于A組是公差為1的等差數列，所以當a=11或a=18時，B組也是公差為1的等差數列，所以方差一定相等.

【反思總結】概率計算時，往往把一個復雜事件表示為幾個互斥的事件的和，或先轉化為對立事件，然后再把這些事件表示為基本事件的積；古典概型往往用列表、圖示等方法，將基本事件有規律地羅列出來，避免基本事件的“重”和“漏”.

【易錯點9】概率分布列的綜合應用意識薄弱

【案例9】(2017·全國卷Ⅲ理·18)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

(Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；

(Ⅱ)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數學期望達到最大值？

【考點涉及】隨機變量分布列，古典概型概率計算，數學期望，函數最值.

【錯解呈現】(Ⅱ)①當n≤200時：Y=n(6-4)=2n，此時Ymax=400，當n=200時取到.

②當200

此時Ymax=520，當n=300時取到最大值.

③當300

此時Y<520.

④當n≥500時，易知Y的值小于情況③下的數值.

綜上所述，當n=300時，Y取到最大值為520.

【錯點查找】符號表示不正確，問題考慮復雜了.

【出錯歸因】理解不透，忽略隱含條件，方法不當，舍簡求繁.

【正解參考】(Ⅰ)易知需求量X可取200,300,500,

則X的分布列為：

X200300500P152525

(Ⅱ)①當200

Y200×2+(n-200)×(-2)2nP1545

此時EYmax=520，當n=300時取到最大值.

②當300

Y200×2+(n-200)×(-2)300×2+(n-300)×(-2)2nP152525

此時EY<520.

綜上所述，當n=300時，EY取到最大值，最大值為520.

【反思總結】認真領悟題意，不難發現這樣的隱含事實，當n<200時，供給不足，當n>500時，供給過剩.所以本案例只要考慮200