立體幾何一輪復習教學不容忽視的幾個問題

安徽 黃海生 蔣秀梅

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，對學生素養的培養越來越為人們所關注.作為教師,如何將核心素養的培養真正有效地落實到課堂教學中去？學生的核心素養又如何得到體現？這都是當下關注的熱點.本文結合高三立體幾何一輪復習教學及筆者的一些經驗和思考,提出若干個不容忽視的問題，不足之處敬請同仁批評指正.

1 不能忽視基礎知識的鞏固

高考復習要回顧基礎知識、整理方法，但不能流于形式，合理安排時間并精讀教材內容、領會教材本質，深化對教材思想方法的理解.挖掘教材例題、習題的潛力，用心體會，整合精選教材中的習題，充分發揮例題應有的功效,一題多解、一題多變、多題歸一、回歸本源，透過習題看數學本質.教師指導學生主動查缺補漏，構建知識網絡，促進學生的反思與提升，培養學生的能力.

例1(2018·全國卷Ⅰ理·12)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為

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無獨有偶，2013年安徽高考題也曾考查過正方體的截面問題，如下.

例2如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面積為S，則下列命題正確的是 (寫出所有正確命題的編號).

解法二：結合面面平行的性質即如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面與平面ADD1A1、平面BCC1B1相交，又因為平面ADD1A1//平面BCC1B1,故交線互相平行.根據兩條平行直線確定一個平面也可作出截面S.按照這種作法，當點Q在線段CC1上的不同位置時，結合平面幾何的知識就可以得到相關交點，進而得到相關的截面圖形.

能完整地作出截面圖形是解決此題的關鍵.畫截面與正方體有關面的交線問題，對于截面問題要利用平面的確定公理(公理2)作為理論依據，先作截面與有關棱的交點，根據“同一平面內兩條直線不平行必相交”和公理1畫直線進而確定交點.點動成線，線動成面,從而作出截面圖形.我們可以從教材上找出這些題的“影子”.

【人教A版必修2第78頁第8題】已知α,β,γ是三個平面，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，且a∩b=O.

求證：a,b,c三線共點.

【人教A版必修2第78頁第9題】如圖，平面α,β,γ兩兩相交，a,b,c為三條交線，且a//b，那么a與c，b與c有什么關系？為什么？

由這兩個習題可知，若三個平面兩兩相交則它們的交線互相平行或相交.

【人教A版必修2第57頁例2】已知正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖，求證：平面AB1D1//平面C1BD.

【人教A版必修2第79頁B組習題2】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：

(1)B1D⊥平面A1C1B；

(2)B1D與平面A1C1B的交點H是△A1C1B的重心(三角形三條中線的交點).

由這兩個例題可知，若平面α與每條棱所在的直線所成的角都相等，則平面α垂直于正方體的體對角線，且根據相似三角形相關知識知道截面圖形的周長均相等.

2 不能忽視作圖能力的培養

理性規范的作圖是解決立體幾何問題的先決條件，作圖就是利用圖形語言描述空間位置關系.正確作圖是學好立體幾何的基本功,也是空間想象力的具體體現，要培養直觀想象素養必須過好作圖這一關，畫空間圖形的過程就是培養直觀想象素養的過程，學生的作圖水平與直觀想象素養相輔相成.因此，教師不能忽視作圖在立體幾何教學中的地位以及在解決立體幾何問題中的作用.如何正確作出圖形?應重視作圖的原理、規范作圖.

例3如圖，某空間幾何體的正視圖和俯視圖分別是邊長為2的正方形和正三角形，則該空間幾何體的外接球的表面積為

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考試后發現很多學生不能根據三視圖還原幾何體，也有不少同學雖然能想象出該幾何體是一個四棱錐，但是因為它的位置擺放的不“周正”，于是感覺別扭，以上原因導致解題無力為繼.當幾何體的擺放不“周正”時，往往難以根據三視圖想象幾何體的結構,我們可以考慮把幾何體置于長方體(或正方體)模型中，三視圖需要從后面、側面和下面三個角度豎起與平行光線垂直的投影面，長方體(或正方體)具有現成的面可供參考.構成幾何體的幾何要素是點、線、面，其中點是基本元素，那么我們就把目光聚集在找出構成幾何體的點上.

以棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1(如圖)為模型考查這個幾何體.

由正視圖的兩條虛線可確定A1B1中點P是幾何體的一個頂點，還可知C,D是幾何體的頂點，結合側視圖可以排除頂點C1，D1，再由俯視圖可以排除頂點A1，B1，連接相應頂點可得四棱錐P-ABCD(如圖).

底面ABCD是邊長為2的正方形，其中側面PAB是邊長為2的正三角形且垂直于底面，這個四棱錐的底面ABCD是面對我們的，因此很多同學不習慣，其實只要知道兩個互相垂直的平面通常畫成直立平面的豎邊與水平平面的橫邊并垂直就很方便作圖了，將四棱錐放置成如圖所示.

3 不能忽視解題的邏輯連貫

立體幾何的研究方法主要是借助于空間圖形進行推理.高中教科書在內容組織上注意了以下幾點：一、聯系實際提出問題和引入概念，加強由實際模型到圖形，再由圖形到模型的基本訓練，逐步培養由圖形想象出空間位置關系的能力.二、從圖形入手，有序地建立圖形、文字、符號這三種語言的聯系，在闡述定義、定理、公式等重要內容時，教科書一般是先給出圖形,再用文字和符號描述對象，綜合運用幾種數學語言,使其優勢互補，將抽象與直觀結合起來，以幫助學生在圖形的基礎上形成更好的理解.三、加強與平面圖形的聯系，利用對比、引申、聯想等方法，引導學生找出平面圖形和立體圖形的異同，以及兩者之間的內在聯系，逐步培養學生將立體圖形問題轉化為平面圖形問題的能力.教師在立體幾何教學中還應著重強化學生的主體地位，改變“學生被老師牽著走”的被動局面，重視過程教學，例題講解要示范，但是不能“你畫我看”“你講我聽”，更要重視學生的思維活動，“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，要讓學生學會思考，透視“為什么要這樣”，充分利用已有的知識切身經歷并體會問題解決的過程，重視心智的參與，使學生對思想方法的來龍去脈有深切的感知.

例4(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點)，設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

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A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

解析：根據異面直線所成角、線面角、二面角的定義作出θ1,θ2,θ3，再根據最小角原理即可求解；也可利用特殊值法進行求解.

解法一：如圖，連接AC交BD于點O，連接SO，則SO⊥平面ABCD，取AB的中點G，連接SG,OG,OE，則SG⊥AB，且θ2=∠SEO,θ3=∠SGO,θ3≥θ2.又θ3即為BC與平面SAB所成的角，根據最小角原理知θ3≤θ1，故θ2≤θ3≤θ1，故選D.

解法二：如圖，設底面正方形邊長為2，S到底面的距離SO=1，E是線段AB上靠近點A的四等分點，G為AB的中點，以EG,GO為鄰邊作矩形OO′EG，則θ1=∠SEO′,θ2=∠SEO,θ3=∠SGO，得

故tanθ2

當E為AB中點時,θ2=θ3=θ1.

綜上有θ2≤θ3≤θ1，故選D.

本題旨在讓學生體會立體幾何問題“平面化”思想和“降維”思想.教學中應重視立體幾何與平面知識的聯系，體會轉化和化歸的數學思想，讓學生利用類比、聯想等方法理解兩者的內在聯系，辨別二者的區別，并感悟到將空間問題轉化為平面問題是處理立體幾何問題的重要思想，從而進一步拓展抽象思維和創新能力.

4 不能忽視知識的整合構建

數學是一個整體，其整體性既體現在同一部分內容知識的前后邏輯關系上，也體現在代數、幾何、三角等各部分內容之間的相互邏輯關系上.要搞好課堂教學，培養并提升學生的學科素養，不能依賴模仿、記憶，關鍵在于理解數學、理解教學、理解學生，善于研究教材內在的邏輯關系，站在系統的高度，整體把握教學，準確把握學生的認知基礎，設計具有思考力度的問題，促進學生注重數學結構體系的系統性、邏輯性和聯系性，教學中應注意各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，完善知識結構，進一步理解數學的本質，在遇到一些陌生的情境時能激活大腦中的信息，具有牽一發而動全身的效能.

本題利用三角形面積公式根據條件列出底面半徑的方程，求出半徑，再由條件得出圓錐母線長，最后求圓錐的側面積.

5.不能忽視論證的理性思辨

高中立體幾何課程歷來以培養學生的邏輯思維能力和空間想象能力為主要目標.立體幾何引入空間向量的方法后，向量作為代數與幾何的載體，往往在解決立體幾何二面角、夾角和距離等問題中具有明顯優勢，學生處理立體幾何問題喜歡用空間向量的方法，久而久之，對教材中的定義、定理、性質等基礎知識記憶模糊，導致推理論證能力薄弱.

例6(2018·浙江卷·19)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°,A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

(Ⅰ)求證：AB1⊥平面A1B1C1；

(Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.

解法二：向量法求解(略).