例談立幾中無棱二面角的純幾何解法

廣東 李光喜

在立體幾何中，有一類無棱二面角的問題，只在圖形中給出了二面角的兩個半平面的一個公共點，沒有給出二面角的棱，學(xué)生在解答時往往因為找不到二面角的棱而感到無從下手.下面筆者舉例說明這類二面角的五種純幾何求法，對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象和邏輯推理能力不無幫助.

一、延長線段找棱法

分析：要求平面SCD與平面SBA所成二面角的正切值，必先確定所求二面角的平面角，而所求二面角的棱在圖中未給出，故關(guān)鍵是先確定二面角的棱.為此，延長BA，CD相交于點E，連接SE，則SE是所求二面角的棱.下面先證明∠BSC是所求二面角的平面角.

【解析】∵AD∥BC,BC=2AD，∴EA=AB=SA，

∴SE⊥SB.

∵SA⊥平面ABCD，

∴平面SEB⊥平面EBC，EB是交線，又BC⊥EB，

∴BC⊥平面SEB，∴BC⊥SE，又BC∩SB=B,

∴SE⊥平面SBC，則SE⊥SC，

故∠BSC是所求二面角的平面角.

評注：當(dāng)已知二面角的兩個面在圖中只有一個交點，但易在二面角的兩個面內(nèi)找到兩條相交直線時，常用辦法是延長兩條線段得到二面角的兩個面的另一個交點，從而確定二面角的棱，再用線面垂直找出或作出平面角，從而求出二面角，這種方法我們不妨稱之為延長線段找棱法.

二、線面平行找棱法

【例2】如圖，ABCD為矩形，M是AB的中點，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2.

(1)求平面PAD與平面PMC所成二面角的正切值；

(2)求平面PAD與平面PBC所成二面角的正切值.

(2)平面PAD與平面PBC所成二面角的棱在圖中未給出，不能利用上述延長線段找棱法求解，但可利用線面平行的性質(zhì)定理找出平面PAD與平面PBC所成二面角的棱來解.

∴BC∥平面PAD.

又平面PAD與平面PBC相交于點P，

∴平面PAD與平面PBC相交于過點P的一條直線，

記為l，則直線l為平面PAD與平面PBC的棱，

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知BC∥直線l，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

又AB⊥BC，AB∩PA=A，

本文提出一種新型的隧道位移預(yù)測方法，在小波變換下，將模糊控制和Elman網(wǎng)絡(luò)結(jié)合，實現(xiàn)了對隧道位移的預(yù)測，與其他方法相比，主要有以下優(yōu)點：

∴BC⊥平面PAB，故直線l⊥平面PAB，

∴PA⊥直線l，PB⊥直線l，則∠BPA是所求二面角的平面角,

評注：當(dāng)已知二面角的兩個面在圖中只有一個交點，且在一個面內(nèi)有一條直線和另一個平面內(nèi)的一條直線互相平行時，則可用線面平行的性質(zhì)定理找出所求二面角的棱，從而轉(zhuǎn)化為有棱的二面角去求，這種方法我們不妨稱之為線面平行找棱法.

三、構(gòu)造長方體(正方體)找棱法

【例3】如圖，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，求平面PAD與平面PBC所成二面角的正切值.

分析：平面PAD與平面PBC所成二面角的棱在圖中未給出，可將圖形補成以AP，AB，AD為棱的長方體ABCD-PMNE.

【解析】補形后的圖形如圖，易知PE就是平面PAD與平面PBC所成二面角的棱.則∠BPA是所求二面角的平面角,

在Rt△PBA中,PA=1,AB=2，

評注：當(dāng)已知二面角的兩個面在圖中只有一個交點，且已知圖形可以看成長方體(正方體)的一部分時，則可構(gòu)造長方體(正方體)找出所求二面角的棱，從而轉(zhuǎn)化為有棱的二面角去求，這種方法我們不妨稱之為構(gòu)造長方體(正方體)找棱法.

四、平移平面法

【例4】如圖，在正四棱錐P-ABCD中，AB=2，PA=3，求平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值.

分析：平面PAD與平面PBC所成二面角的棱在圖中未給出，利用例1中的延長線段找棱法，不能作出二面角的棱，這時可通過平行移動平面PBC的辦法求二面角.為此，在平面PCD內(nèi)，過D作線段FD與PC平行且相等，連接PF，AF，易證平面FAD∥平面PBC,故平面FAD與平面PAD所成二面角的大小等于平面PAD與平面PBC所成二面角的大小.

【解析】取AD的中點E，連接PE，EF，易證FA=FD，

又PA=PD，

∴PE⊥AD，F(xiàn)E⊥AD，

故∠PEF是平面FAD與平面PAD所成二面角的平面角.

評注：當(dāng)已知二面角的兩個平面在圖中只有一個交點，且在一個平面內(nèi)有一條直線和另一個平面內(nèi)的一條直線互相平行時，常用辦法是平移其中一個平面和另一個平面相交，從而轉(zhuǎn)化為有棱的二面角去求，這種方法我們不妨稱之為平移平面法.

五、射影法

【例5】如圖，正三角形ABC的邊長為10，A∈平面α，B，C到平面α的距離分別為4和2，B，C在平面α的同側(cè)，求平面ABC與平面α所成二面角的余弦值.

【解析】過B，C分別作BE⊥平面α于E，

CF⊥平面α于F，則BE∥CF，

且BE=4，CF=2，∵BA=AC=10，