2018年高考函數(shù)問題聚焦

陜西 劉大鳴

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)知識的一條主線，也是歷年高考數(shù)學(xué)的考查重點，了解高考要求及近年來高考動態(tài)，熟悉并掌握各類函數(shù)問題的題型與解法，對于2019年高考一輪復(fù)習(xí)備考，提高高考成績，有著非常重要的意義.本文以2018年高考函數(shù)試題為載體，聚焦其考查方向，歸納提煉其題型和求解的通性通法，希望對教師指導(dǎo)學(xué)生們備考初等函數(shù)有所幫助.

聚焦1 函數(shù)的概念、定義域、值域

1.1 函數(shù)的定義域

解析：根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)列不等式，解對數(shù)不等式得函數(shù)定義域.

要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x-1≥0，解得x≥2，則函數(shù)f(x)的定義域為[2,+∞).

反思：求函數(shù)的定義域，從分式分母不為零、偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)、對數(shù)中真數(shù)大于零等出發(fā)構(gòu)建不等式(組)求解，常常與集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算聯(lián)系在一起,有時還涉及復(fù)合函數(shù)的定義域，凸顯整體變量觀念的認(rèn)識和應(yīng)用.2017年山東卷理第1題將集合運(yùn)算與定義域相結(jié)合進(jìn)行考查.

1.2 合理運(yùn)用對應(yīng)法則求參數(shù)值

例2(2018·全國卷Ⅰ文·13)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a)，若f(3)=1,則a=________.

解析：依據(jù)對應(yīng)法則構(gòu)建對數(shù)方程求解，

∵f(3)=1,f(x)=log2(x2+a),

∴l(xiāng)og2(9+a)=1,∴9+a=2，

解得a=-7.

反思：函數(shù)的對應(yīng)法則揭示了因變量與自變量之間的唯一對應(yīng)關(guān)系，利用對應(yīng)法則可以求函數(shù)值，還可以構(gòu)建方程解決自變量或參數(shù)值的問題.

1.3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定最值

例3(2018·全國卷Ⅰ理·16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是 .

解析1：直接對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，確定導(dǎo)函數(shù)值在區(qū)間上的正負(fù)，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值.

∵f(x)=2sinx+sin2x,

∴f′(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2

解析2：利用“萬能”公式，選主元構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)研究最小值.

∵f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，

φ(t)在取負(fù)值的情況下有最大值，則f(x)有最小值，

品味：給出解析式的函數(shù)最小值問題，要依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)選用求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式,準(zhǔn)確求出導(dǎo)函數(shù)，且化為因式積的形式，借助導(dǎo)函數(shù)的零點分區(qū)間探究各個因式的積,確定導(dǎo)函數(shù)在各個區(qū)間上的正負(fù)，確定出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，進(jìn)而求得函數(shù)的最值點，代入求得函數(shù)的最值.這是由導(dǎo)函數(shù)值的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系決定的.解析2先化簡解析式，換元構(gòu)造輔助函數(shù)，再求導(dǎo)利用三角的“萬能”公式把解析式化成“統(tǒng)一”形式.

1.4 二元變量的函數(shù)最小值求解中的“多種思維方法”

反思：二元變量的函數(shù)最值，把握題設(shè)條件和所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，常常直接運(yùn)用均值不等式尋找簡捷的途徑或降元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值,用不等式求解.解析1直接運(yùn)用不等式求最小值;解析2把握整體兩個變量的對等地位，特殊化取相等求最值，來源于不等式去等號的經(jīng)驗的類比;解析3換元湊出積為定值明確了解題的方向;解析4運(yùn)用等式的作用，一個變量用另一個變量來表示，降元代入目標(biāo)式易湊定值是最基本也是最容易想到的通法.

聚焦2 函數(shù)的圖象及其變換

2.1 函數(shù)解析式與其圖象匹配中的“函數(shù)性質(zhì)和排除法”的應(yīng)用

例5(2018·浙江卷·5)函數(shù)y=2|x|sin2x的圖象可能是

( )

反思：函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的匹配方法：

(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；

(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

常常選用奇偶性和區(qū)間上單調(diào)性以及特殊值尋求簡捷解題途徑.

2.2 函數(shù)解析式與其圖象匹配中的“排除法和導(dǎo)數(shù)法”的應(yīng)用

( )

(2)(2018·全國卷Ⅲ·理7，文9)函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為

( )

解析:(1)從定義域、奇偶性、特殊點處的函數(shù)值、局部單調(diào)性(導(dǎo)數(shù)法)等尋求解析式與圖象的一一對應(yīng)，選擇排除法求解.

反思：函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，從圖象中我們可以直觀形象地感知函數(shù)的性質(zhì)，揭示函數(shù)本質(zhì)屬性和圖象之間的一一對應(yīng)的關(guān)系，即函數(shù)解析式與函數(shù)圖象的匹配為綜合考查函數(shù)的熱點題型，它要求把握圖象的重要特點，合理的運(yùn)用圖象，從定義域、對應(yīng)法則、值域、對稱性、局部單調(diào)性(定義法或?qū)?shù)法)上與解析式匹配，常常運(yùn)用“排除法”解題.

聚焦3 靈活應(yīng)用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)式的大小比較

3.1 利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定大小關(guān)系

( )

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

3.2 利用對數(shù)運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)及不等式判斷大小關(guān)系

例8(2018·全國卷Ⅲ理·12)設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則

( )

A.a+b

C.a+b<0

∵a=log0.20.3，b=log20.3，

∵0=log0.31

又∵a>0，b<0，

∴ab

反思：對于指數(shù)冪和對數(shù)的大小比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)不同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，如本題中交換對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確.

聚焦4 巧用函數(shù)奇偶性和周期性簡化求值

例9(2018·全國卷Ⅱ理·11)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

( )

A.-50 B.0

C.2 D.50

解析:先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值簡化求結(jié)果.

∵f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù)，

且f(1-x)=f(1+x),

∴f(0)=0,f(1+x)=-f(x-1),

∴f(3+x)=-f(1+x)=f(x-1),

∴周期T=4,

因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)，

∵f(3)=-f(1),f(4)=-f(2)，

∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,

∵f(1+x)=f(1-x),∴令x=1得f(2)=f(0),

∴f(2)=0，

從而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2,故選C.

聚焦5 函數(shù)的對稱性的探究及應(yīng)用

5.1 復(fù)合函數(shù)的對稱中心的探究及應(yīng)用

5.2 兩函數(shù)圖象的對稱軸的應(yīng)用

例11(2018·全國卷Ⅲ文·7)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=lnx的圖象關(guān)于直線x=1對稱的是

( )

A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)

C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)

解析:直接運(yùn)用對稱軸的意義，代入法求曲線關(guān)于直線的對稱曲線，f(x)的圖象與y=lnx的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則f(x)=f(2-x)=ln(2-x)，故選B.

反思：本題實質(zhì)為兩不同的函數(shù)關(guān)于特殊直線的應(yīng)用，利用對稱性研究相關(guān)點和所求點之間的關(guān)系，借助相關(guān)點在已知的函數(shù)圖象上得到所求點的函數(shù)關(guān)系式，稱為代入法或相關(guān)點法求函數(shù)的解析式，注意到對數(shù)函數(shù)恒過(1,0)點可求出其對稱點進(jìn)行驗證.

聚焦6 分段函數(shù)

6.1 分段函數(shù)的求值

反思：分段函數(shù)的周期性和區(qū)間上的解析式都是函數(shù)對應(yīng)法則的體現(xiàn)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值.當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值,由函數(shù)值確定自變量時，依據(jù)對應(yīng)法則,構(gòu)建方程求解.

6.2 以分段函數(shù)為背景的不等式求解中的“分類與整合”

反思：以分段函數(shù)為背景的不等式的求解，依據(jù)區(qū)間上的解析式，對號入座進(jìn)行分類，在每類下構(gòu)建不等組求交集，最后求并集，凸顯“先分后和”的“分類與整合”思想的具體應(yīng)用.

6.3 以分段函數(shù)為背景的不等式求解中的“多種思維方法”

( )

A.(-∞,-1] B.(0,+∞)

C.(-1,0) D.(-∞,0)

反思：以分段函數(shù)為背景，通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關(guān)系，注意選擇題的特征，可利用特殊值法驗證求解；還可以分三類構(gòu)建不等式組求解；利用分段函數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)可簡化壓縮思維過程，由圖象要出現(xiàn)函數(shù)值的大小，絕對不可能是常函數(shù)，從而確定出自變量的所處的位置，結(jié)合函數(shù)值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式(組)，進(jìn)而簡化求得結(jié)果.三種不同的思維過程折射出不同的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

6.4 函數(shù)不等式恒成立問題中的“合理轉(zhuǎn)化”

解析：由x∈[-3,+∞)分類討論，分離參數(shù)a，結(jié)合恒成立的條件構(gòu)建函數(shù)，求值域可得參數(shù)的范圍.

①當(dāng)x>0時，f(x)≤x，即-x2+2x-2a≤x，

②當(dāng)-3≤x≤0時，f(x)≤-x,即x2+2x+a-2≤-x，整理可得a≤-x2-3x+2，

由恒成立的條件可知a≤(-x2-3x+2)min(-3≤x≤0)，

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=-3或x=0時，(-x2-3x+2)min=2,∴a≤2.

反思：對于函數(shù)不等式恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法,一般從①拋物線開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④區(qū)間端點函數(shù)值符號四個方面分析.

6.5 分段函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，利用圖象關(guān)系及性質(zhì)求解

( )

A.[-1,0) B.[0,+∞)

C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

解析:依據(jù)g(x)存在2個零點，得到方程f(x)+x+a=0有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為f(x)=-x-a有兩個解，即直線y=-x-a與曲線y=f(x)有兩個交點，根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出分段函數(shù)f(x)的圖象，畫出直線y=-x，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)-a≤1時，滿足直線y=-x-a與曲線y=f(x)有兩個交點，從而求得a≥-1，故選C.

反思：函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根，再轉(zhuǎn)化為“一次運(yùn)動(動)函數(shù)”和“其他類型靜止(定)函數(shù)”的關(guān)系，借助直線系運(yùn)動尋找臨界值，構(gòu)建不等式求解.

6.6 方程根合理轉(zhuǎn)化兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，利用圖象關(guān)系及性質(zhì)求解

解析:由題意分類討論x≤0和x>0兩種情況，分區(qū)間構(gòu)造方程，探究兩根的條件，從而確定參數(shù)的范圍.

當(dāng)x≤0時，方程f(x)=ax，即x2+2ax+a=ax，

整理可得x2=-a(x+1)，

當(dāng)x>0時，方程f(x)=ax，即-x2+2ax-2a=ax，

原問題等價于函數(shù)g(x)與函數(shù)y=a有兩個不同的交點，求a的取值范圍.

由對勾函數(shù)的圖象及換元法可得

m(u)在(-∞,-1)上遞減，在(-1,0),(0,1)上遞增，在(1，3)，(3，5)上遞減，在(5,+∞)上遞增，

注意y=a(a>0)的圖象，考查臨界條件且a>0，于是 4=m(-1)

反思：方程根的問題從解方程入手，分離參數(shù)構(gòu)建新的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為該函數(shù)圖象與平行于x軸的直線系的交點問題，換元研究新對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，尋找臨界值，構(gòu)建不等組求解，凸顯函數(shù)圖象的應(yīng)用價值.

聚焦7 構(gòu)建函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)法探究單調(diào)性進(jìn)而求解實際應(yīng)用問題

例18(2018·江蘇卷·17)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A,B均在線段MN上，C,D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.

(Ⅰ)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；

(Ⅱ)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

解析：借助參數(shù)角θ表示矩形ABCD的長和寬以及三角形的底和高，進(jìn)而得到矩形和三角形的面積，由實際意義確定參數(shù)的正弦值的范圍，依據(jù)題設(shè)構(gòu)建年總產(chǎn)值與θ的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求解最值.

(Ⅰ)連接PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10.

過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ)，

過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，由圓的性質(zhì)得GK=KN=10.

則f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).