2018年高考數學文化題賞析

陜西 韓紅軍

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出：數學文化是“貫穿于整個高中數學課程的重要內容之一”，并要求將其滲透在每個模塊或專題中，進而給出一些蘊含數學文化價值的選題.教育部考試中心公布的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》也要求“增加中華優秀傳統文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能和積極的導向作用.比如，在數學中增加數學文化的內容”.

數學文化是指數學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發展，核心是數學的理性精神，即探索質疑、求真務實以及遵循公理、注重方法等.廣泛地說，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文部分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等.2018年高考文理共13份試卷，共涉及數學文化方面的試題6道.試題秉承高考大綱“增加數學文化”的要求，深入挖掘高中數學所學知識與數學文化的結合點，展現了數學的科學價值和人文價值，給人耳目一新的感覺，為高考注入了新的活力.

一、以古代著名圖形為背景命題

【例1】(2018·全國卷Ⅰ·理10)下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則

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A.p1=p2B.p1=p3

C.p2=p3D.p1=p2+p3

【分析】該題考查的是面積型幾何概型的有關問題，題中需要解決的是概率的大小，根據面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉化為比較區域的面積的大小，利用相關圖形的面積公式求得結果.

【例2】(2018·上海卷·15)《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是

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A.4 B.8 C.12 D.16

解：只要能找到AA1所在矩形的個數，并根據每個矩形可作4個陽馬的基本位置關系，其中AA1與對應的底面另一條邊組合的俯視圖如下，共4種情況，則共可有“陽馬”16個，故選D．

《九章算術》是中國古代第一部數學專著，是《算經十數》中最重要的一種，成于公元一世紀左右.該書內容十分豐富，系統總結了戰國、秦、漢時期的數學成就.它最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足問題，“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則.高考中常見的著名圖形有：太極圖、趙爽弦圖、楊輝三角、鱉臑、畢達哥拉斯形數等.全國卷Ⅰ理科第10題以三個半圓構成的幾何圖形為背景，主要考查面積型幾何概型，趣味性很強；上海卷第15題以立體幾何圖形——陽馬為背景，主要考查計數原理，引導學生理解數學.

二、以著名數學猜想為背景命題

【例3】(2018·全國卷Ⅱ·理8)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23．在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是

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【分析】先確定不超過30的素數，再確定兩個不同的數的和等于30的取法，最后根據古典概型概率公式求解.

哥德巴赫猜想、費馬猜想、四色猜想是世界近代三大數學猜想，1742年，哥德巴赫給歐拉的信中提出了如下猜想：任一大于2的偶數都可以寫成兩個質數之和.歐拉一直到死，也沒有證明，挪威、德國、英國、意大利、前蘇聯、匈牙利和中國等國數學家一直沒有停止研究的步伐，直到1966年，我國的陳景潤證明了“1+2”.高考中常見的著名數學猜想有：角谷猜想、四色猜想、費馬猜想等.全國卷Ⅱ理科第8題以數論這個數學王冠上的最明亮的寶珠——哥德巴赫猜想為背景，主要考查古典概型，使學生感受中國古代數學的博大精深和數學家崇高的品質，增強愛國主義情懷.

三、以古代數學名題為背景命題

【分析】實際問題數學化，利用所學的知識將陌生的性質轉化為我們熟悉的性質，將z代入解方程組可得x，y值.

我國古代出現過劉徽、祖沖之、祖暅、楊輝等一大批享譽世界的數學家，以及《九章算術》、《數書九章》、《算數書》、《算法統宗》等數學名著，這些著名的數學家和數學名著中記載了許多數學名題，高考中常以祖暅原理、劉徽“割圓術”、將軍飲馬問題、高斯函數、韓信立馬分油問題、韓信點兵問題、斐波那契數列、阿波羅尼斯圓、米勒問題、皮克定理、勃羅卡點等古代中外名題為背景.浙江卷第11題立足著名的百雞問題，主要考查三元一次方程的解法.

四、與其他學科交匯的數學文化為背景命題

1.數學文化與建筑學交匯

【例5】(2018·全國卷Ⅲ·理3)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是

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【分析】俯視圖要從上向下看，觀察圖形，因為卯眼凹進去，所以俯視圖中應畫成虛線.

中國古建筑以木材、磚瓦為主要建筑材料，以木構架結構為主要的結構方式，由立柱、橫梁、順檁等主要構件建造而成，各個構件之間的結點以榫卯相吻合，構成富有彈性的框架.榫卯是在兩個構件上采用的一種凹凸部分相結合的連接方式，凸出部分叫榫(或榫頭)；凹進部分叫卯(或榫眼、榫槽)，榫和卯咬合，起到連接作用.這是中國古代建筑、家具及其他器械的主要結構方式.榫卯結構是榫和卯的結合，是木件之間多與少、高與低、長與短之間的巧妙組合，可有效地限制木件向各個方向的扭動.最基本的榫卯結構由兩個構件組成，其中一個的榫頭插入另一個的卯眼中，使兩個構件連接并固定.榫頭伸入卯眼的部分被稱為榫舌，其余部分則稱作榫肩.本題將數學文化與建筑學中的榫卯結構有機地結合起來，設計新穎，考查了立體圖形的三視圖.

2.數學文化與音樂學交匯

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【分析】根據等比數列的定義可知每一個單音的頻率成等比數列，利用等比數列的相關性質可解.

“十二平均律”亦稱“十二等程律”,世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數之比完全相等.十二平均律是指將八度的音程(二倍頻程)按頻率等比例地分成十二等份，每一等份稱為一個半音即小二度.一個大二度則是兩等份. 將一個八度分成12等份有著驚人的一些湊巧.它的純五度音程的兩個音的頻率比(即2 的7/12 次方)與1.5 非常接近，人耳基 本上聽不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差別.十二平均律在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用，現在的鋼琴即是根據十二平均律來定音的.本題將數學文化與音樂學中的“十二平均律”完美地結合起來，考查了等比數列的有關概念和通項公式的計算.

五、數學文化試題在今后教學中的建議

今后的課堂教學中，教師通過數學文化試題讓學生感受中國數學家在科學的道路上不屈不撓、鍥而不舍、為科學鞠躬盡瘁、舍生忘死的高貴品質和精神，感受中國數學文化的博大精深，激發學生的愛國主義情懷，增強學生的民族自豪感和使命感，樹立為我國科學事業刻苦學習、奮斗終生的人生規劃和目標，在民族復興中實現自己的人生價值.

第二，在創設情境引入新課時可以滲透數學文化.引入新課時創設情境有利于激發學生的學習欲望和主動參與的興趣，使學生主動思考問題，積極投入到自主探索、合作交流的氛圍中.例如，在解析幾何的序言課上，可以向學生介紹解析幾何的創始人——笛卡爾的故事，笛卡爾一天睡醒后觀察天花板上蒼蠅的爬動，受其啟發，才創建了解析幾何，這是數學發展史上的一個里程碑，具有劃時代的意義.通過這樣一個小故事，將數學背景包含在學生熟悉的情境中，讓學生倍感親切，使學生從中體驗到數學發現的興趣，激發學生學習的熱情.

第三，深入挖掘教材中的數學文化素材，在教學中合理利用教材中關于數學文化的相關資源.高考數學文化試題大部分都可以在教材中找到原型，例如高斯函數、阿波羅尼斯圓、角谷猜想、斐波那契數列、劉徽割圓術、祖暅原理、更相減損術、韓信點兵、狄利克雷函數、伯努利不等式、趙爽弦圖、楊輝三角等，都曾在教材的正文、例(習)題、教材閱讀與思考探究等欄目中出現過.教學中，我們以這些資源為引，設置或編制一些與之相關的數學文化試題與這些數學文化知識相配套.