但把試題細細看 全卷意思藹如春
——2018年高考數學浙江卷解讀與思考

浙江 楊育池

2018年是浙江省新高考改革的第二年，也是文理合卷命題的第二年．每年的6月7日下午，教師如同狂熱的追劇人一樣，急切地等待著數學試題“大揭秘”.帷幕拉開，可以發現2018年浙江省數學高考命題，依然堅持“起點低、坡度緩、層次多、區分好”的命題思路與風格，嚴格遵循國家《課程標準》、省《教學指導意見》及《考試說明》，根據文理不分科的數學素養的綜合要求，聚焦學科主干內容，突出關鍵能力的考查，試題整體難度調控合理，“全卷意思藹如春”，為全國新一輪數學教學改革帶來積極的示范作用，對浙江省高中數學教學起到良好的導向作用．

1 注重基礎，凸顯人文關懷

試題在充分汲取首次命題經驗的基礎上，“放低起點”，符合“滿足未來公民的基本數學需求”的教學理念，讓基礎薄弱的學生有信心動手，不至于望題興嘆，如第 11題將我國古代數學名著《張邱建算經》中的“百雞問題”設計為解二元一次方程組，既考查考生代數變形的熟練程度和基本運算能力，也有利于考生穩定心態，紓解緊張情緒.試題也兼顧學科整體和思維價值的高度進行設計命制，“考慮差異”，對數學能力與素養的考查達到必要的深度，“滿足學生對未來發展的需求”，有利于公平競爭，鼓勵優秀學生獨立思考，積極創新，有效地發揮并展示潛質，凸顯人文關懷．

1.1 立足課本，考查基礎

全卷注重數學基本概念、基礎知識與基本運算的考查，絕大部分試題面向全體考生，設計取材于課本，上手易，沒有偏題、難題.試題的第1～7，12～14，18題等都來源于課本，或從課本中的例、習題延伸改造而來，充分體現了數學試題的基礎性．第1題考查集合的基本運算，第2題考查雙曲線的簡單幾何性質，第4題考查復數的運算與共軛復數的定義，第5題考查函數的奇偶性及函數的零點，第6題考查空間中直線與直線以及直線與平面的位置關系，這些試題需要考生有針對性地調動數學知識進行分析運用，而不是“螞蟻搬家”式的記憶性考核，當然不同層次的考生對知識有不同層次的理解，方法選擇不當會費時低效．如果考生概念清晰，知識清楚，大可“一望而解”，無需過多動筆，給考生一種如浴春風般的愉悅輕松．

例1(2018·浙江卷·7)設0

則當p在(0，1)內增大時，

( )

A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大

C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小

對于知識面廣的考生還可以利用公式D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2簡化其中的運算.

解析本題是人教A版教材必修五第一章復習參考題A組第一題的直接改編，此題不會像以往的解三角形問題邊角關系隱藏繁雜，讓人望而生畏，只需考生正確理解正弦定理與余弦定理，具備基本的運算技能，便可順利解決．

又由余弦定理，有a2=b2+c2-2bccosA，

則c2-2c-3=0，又c>0，故c=3.

(Ⅰ)求sin(α+π)的值；

1.2 注重通法，著眼本質

試題聚焦高中數學的主干知識，融匯多個知識點，滲透對數學思想方法的考查，注重通性通法，關注考生在解決數學問題的過程中，所需的常用技能、思想方法和核心觀念以及對數學本質的理解，有利于區分學生的數學思維能力的高低，如第8，9，17，20，21題．這些試題入口寬，往往解法多樣，在解決問題的過程中，需要運用“數形結合”“設而不求”“待定系數”等思想方法．考生只有“站得高”，具備一個有組織有序的知識體系，抓住知識的本質，“才能看得遠”，事半而功倍．

例4(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點)，設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

顯然，兩種思路均體現出在解題過程中回到定義，呈現數學概念的形成、發生和發展過程，彰顯空間角問題求解的通性通法.如果更深入地揭示空間角的本質規律，則在于理解“面面角”是“線面角”中的最大角，“線面角”是“線線角”中的最小角，即可直接選擇正確答案．

( )

解析此題求解的通法是分段函數的討論，聯想到函數的本質是對應，作出函數圖象，如圖.則當λ=2時，函數圖象位于x軸下方所對應x的取值范圍為(1,4)，即f(x)<0的解集為(1,4)；若函數f(x)恰有2個零點，則直線x=λ左側的拋物線部分和直線x=λ右側的射線與x軸各只有一交點，故1<λ≤3，或直線x=λ左側的拋物線部分與x軸有2個交點，直線x=λ右側的射線與x軸無交點，故λ>4.綜上，則λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞).

今年的解答題位置略有變動，數列問題難度明顯下降，位置前移，在改變以往在遞推關系下考不等式放縮證明，回歸到等差、等比數列的條件下，研究數列的通項及前n項和等性質，貼近全省大部分高中學校的數學教學實際情況，對杜絕題海戰術，重視基礎，理解把握數學本質的教育觀念有很好的導向作用.雖然問題設計看似很常規，但是高考是選拔性考試，所以想合理簡潔得到結果，還是需要考生深刻理解數列的知識本質、并有靈活的數學思維能力和良好運算素養.

例8(2018·浙江卷·20)已知等比數列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項，數列{bn}滿足b1=1，數列{(bn+1-bn)an}的前n項和為2n2+n．

(Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)求數列{bn}的通項公式．

2 能力立意，聚焦數學素養

試卷立足于考查數學基礎知識，突出數學本質，屬于合理設置區分度較強的能力立意題，突出考查邏輯思維能力、運算求解能力和推理論證能力，體現思維的探究性，這不僅是試題設計中整合知識考查考生能力的需要，更是從不同角度有效檢測考生的數學理性思維及數學學科核心素養的需要．

2.1 意存創新，彰顯素養

函數是中學數學核心內容之一，第10題是全卷的一個亮點，以數列為依托進行設計，充分體現知識和思維的探究性，需要考生挖掘“深藏”其中的函數，能引發考生對問題的“觀察、猜測、抽象、概括與證明”，使之對相關數學知識進行遷移、組合并融合，發現研究對象的背景，考查考生數學抽象、數據分析和數學運算等素養，對考生的數學能力是挑戰，也是對考生創新意識的淬煉.核心素養的核心是創新能力，而具有開闊的數學視野和善于發散、敢于聯想的思維習慣是反映創新意識的兩個重要方面.第19題側重考查考生借助幾何直觀與空間想象感知空間中的直線與平面、平面與平面的位置關系，進而進行數學推理、構建數學結論，體現數學的工具性和應用的廣泛性，既符合“學數學，用數學，數學就在我們身邊”的現代數學理念，也能有效地從解法的創新度上投射出考生的數學素養.

例9(2018·浙江卷·10)已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，則

( )

A.a1a3，a2

C.a1a4D.a1>a3，a2>a4

解析2解析1已揭示了問題的背景.解析2基于常見不等式lnx≤x-1，從整體上考慮應將“等”轉化為“不等”，去掉對數符號作出推理判斷.由已知得a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1且a1+a2+a3>0，則a4≤-1.因為a1>1，故公比q<0.假設q≤-1，則a1+a2+a3=a1[1+q(1+q)]≥a1>1，即ln(a1+a2+a3)>0，而a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0，故a1+a2+a3+a4≠ln(a1+a2+a3)，所以 -1a2，故選B.

例10(2018·浙江卷·19)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

(Ⅰ)證明：AB1⊥平面A1B1C1；

(Ⅱ)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.

解析問題(Ⅰ)為基礎知識的考查，略；下面主要考慮問題(Ⅱ)，問題(Ⅱ)解法較多，可以是傳統的綜合法，也可以是向量法.如果把握圖形的幾何特征，突出轉化、“割補”或“等積變換”等思想方法，則可以合理選擇方法或對解法進行創新．

2.2 意遠旨大，聚焦素養

第21題是一道素材樸實、內蘊豐富的試題，題目本身和結論以及解法都散發著數學美的理性之光；在解法上，可以規避解析幾何“程序化、套路化”的解題過程，借助數量關系上的對稱性，減少運算量，彰顯幾何圖形內在性質的雅致；在解題中，也考查考生對動點與定點，“常量”與“變量”辯證的理解，考查考生的數學建模、數學運算與邏輯推理等核心素養.

例11(2018·浙江卷·21)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

(Ⅰ)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸；

第22題以函數介值性定理為背景，不走函數問題命制的模式化的“尋常路”，緊緊圍繞導數這一有力工具，研究函數的性質，需要考生綜合調用導數知識、不等式等知識，還需具有通過分析觀察、思考論證獲取信息的能力及廣闊而深刻、靈活而獨到的思維品質，因而能很好地綜合檢測考生的數據分析、邏輯推理等數學素養及進一步學習的潛質．

(Ⅰ)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導數相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(Ⅱ)若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．

因此，G(x)只有唯一零點.即直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．

3 以思促行，啟示復習教學

一份高考試題如果教師不能用持續的思考維持對它的熱度，顯然不會有“其題小而其旨極大，舉類邇而見義遠”的感觸，也無法指導復習教學工作.反思我們的實際教學工作，每屆的高考復習，我們總是希望看到自己學生的數學成績花開月圓，師生一直在自編自導的各種“模擬”題中苦苦掙扎，以期用一張無形之網籠絡住精彩的“大結局”.