軌跡思想在解三角形中的應用

安徽 胡 廣

解三角形是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是高考的重點考查對象.解三角形的主要方法是根據(jù)正余弦定理以及三角形中的邊角關(guān)系，然后利用相關(guān)三角函數(shù)公式等數(shù)學知識進行三角形中邊角及面積等元素的計算.有些三角形問題還能與函數(shù)、不等式等知識結(jié)合，另外有些三角形問題如果能從軌跡思想入手，還可以將三角形問題轉(zhuǎn)化為解析幾何的問題.下文結(jié)合具體例題談談筆者的一些體會.

一、與圓結(jié)合

類型1：與三角形的外接圓結(jié)合

求 (1)△ABC面積的最大值；(2)a2+b2的最大值.

常規(guī)解法:(1)在△ABC中，由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC. 即3=a2+b2-ab≥2ab-ab，得ab≤3.

用軌跡方法求解：

(2)設(shè)C(x,y)，則

比較兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，用軌跡思想處理相關(guān)的最值問題時，C點的位置對最值的影響比較直觀，所以解決起來比較方便.

類型2:與阿氏圓結(jié)合

(在平面上到兩定點距離之比為定值(定值不為1)的點的軌跡是圓)

示例2：在△ABC中，BD是∠B的平分線，且AD=1,CD=2，求△ABC面積的最大值.

用軌跡方法求解：不妨設(shè)D為坐標原點，AC邊所在直線為x軸建立直角坐標系如下圖.則A(-1,0),C(2,0)

易知當B點位于(-2,±2)時，△ABC面積最大，此時S=3.

相對于常規(guī)解法而言，本題利用軌跡思想大大簡化了解題步驟，建立了三角問題與解析幾何之間的聯(lián)系.

類型3：與其他圓的結(jié)合

示例3：在△ABC中，AB=2,AC2+BC2=8，求△ABC面積的最大值.

用軌跡方法求解：不妨以AB中點為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系如下圖，則A(-1,0),B(1,0),令C(x,y),

除了上述情形外，有些三角形問題還可以與圓錐曲線產(chǎn)生聯(lián)系.

二、與圓錐曲線結(jié)合

類型1：與橢圓結(jié)合

示例4:在△ABC中，角A,B,C對應的三邊分別是a,b,c.已知b=2,a+c=4,求中線BD的范圍.

用軌跡方法求解：以D為坐標原點，AC邊所在直線為x軸建立直角坐標系如下圖，∵AB+BC=4,∴B點的軌跡是以A,C為焦點的橢圓(不包括長軸的兩個端點),

類型2：與雙曲線結(jié)合

示例5：在△ABC中，角A,B,C對應的三邊分別是a,b,c.已知BC=10,AB-AC=8.求sinB的取值范圍.