雙變量不等式問題的解決策略

廣東 馬少君

近幾年高考數學試題，如2018年全國卷Ⅰ理科數學21題，各地高三模擬數學試題中，涉及兩個變量的不等式問題，將導數與函數、方程、不等式知識結合在一起作為最后一道壓軸題.這類問題由于變量多，導致學生拿到試卷后無從下手，找不到解題的突破口.而解決這類問題的常用方法是合理地等價轉化為相對熟悉的問題——構造函數，把雙變量問題轉化為一元問題，再以導數為工具就能有效解決.下面就此類問題的處理技巧和方法加以歸納總結，以此拋磚引玉.

類型1消元構造法(挖掘題目隱含條件，尋找雙變量等式關系，消元化為一元函數)

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(ⅰ)若a≤2，則f′(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時f′(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)上單調遞減.

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設兩個極值點分別為x1,x2,證明：x1·x2>e2.

類型2 分離變量法

2.1兩個變量地位均等，相互獨立，若能分離，則分離后各自構造相應的一元函數.

例2已知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(Ⅰ)討論函數f(x)的單調性；

(Ⅱ)設a<-1.如果對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|，求a的取值范圍.

(Ⅱ)不妨設x1≥x2，當a<-1時，

點評本題第(Ⅱ)問利用單調性去掉絕對值符號，分離兩個變量，再構造函數利用導數處理.一般地，若兩個變量分離到不等式兩側后，會化歸為兩種形式：(1)形如f(x1)>g(x2)，則利用兩側函數各自的最值去處理；(2)形如f(x1)>f(x2)，則利用函數的單調性來處理.

2.2兩個變量無法分離，則合二為一，換元后構造一元函數.

(Ⅰ)若函數f(x)在定義域內不單調，求實數a的取值范圍；

(Ⅱ)若函數f(x)在區間(0,1]內是增函數，求實數a的取值范圍；

(Ⅲ)若x1,x2∈R+,且x1≤x2，求證：(lnx1-lnx2)(x1+2x2)≤3(x1-x2).

第一步：將兩自變量變為一個整體，根據所得不等式構造合適函數.

第二步：結合題中的函數和所構造的函數，選擇合適的參數值，分析函數的單調性，利用導函數的單調性來進行證明.

變式3已知函數f(x)=lnx.

(Ⅰ)求g(x)=(x2+1)f(x)-2x+2(x≥1)的最小值；

類型3指定主變量法(以一個變量為主變量，另一個變量為參數構造一元函數，或一個指定為變量，另一個看成常數，進而構造函數，巧妙轉化為一元函數)

例4已知函數f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx.

(Ⅰ)求函數f(x)的最大值；

當-10，當x>0時，f′(x)<0.

又因為f(0)=0，所以當x=0時，f(x)取得最大值，且最大值為0.

(Ⅱ)g(x)=xlnx，g′(x)=lnx+1.

點評本題第(Ⅱ)問是函數背景下的雙變量不等式的證明，在兩個變量地位均等的條件下，以一個變量為主，另一個變量為參數巧妙地轉化為一元函數，再移項構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值加以證明.

點評本題借助“一動一靜”的主元思想，巧妙地避開兩個變量，直接構造函數，轉化為函數模型解決問題.

類型4極值點偏移法

一、極值點偏移的含義

二、極值點偏移問題的一般題設形式

1.若函數f(x)存在兩個零點x1,x2且x1≠x2，求證：x1+x2>2x0(x0為函數f(x)的極值點)；

2.若函數f(x)中存在x1,x2且x1≠x2滿足f(x1)=f(x2)，求證：x1+x2>2x0(x0為函數f(x)的極值點)；

三、運用判定定理判定極值點偏移的方法

1.方法概述

(1)求出函數f(x)的極值點x0；

(2)構造一元差函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

(3)確定函數F(x)的單調性；

(4)結合F(0)=0，判斷F(x)的符號，從而確定f(x0+x)，f(x0-x)的大小關系.

口訣：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤；四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨.

2.抽化模型

答題模板：若已知函數f(x)滿足f(x1)=f(x2)，x0為函數f(x)的極值點，求證：x1+x2<2x0.

(1)討論函數f(x)的單調性并求出f(x)的極值點x0；

假設此處f(x)在(-∞,x0)上單調遞減，在(x0,+∞)上單調遞增.

(2)構造F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

注：此處根據題意需要還可以構造成F(x)=f(x)-f(2x0-x)的形式.

(3)通過求導討論F(x)的單調性，判斷出F(x)在某段區間上的正負，并得出f(x0+x)與f(x0-x)的大小關系；

假設此處F(x)在(0,+∞)上單調遞增，那么便可得出F(x)>F(x0)=f(x0)-f(x0)=0，從而得到x>x0時，f(x0+x)>f(x0-x).

(4)不妨設x1

接上述情況，由于x>x0時，f(x0+x)>f(x0-x)且x1f[x0-(x2-x0)]=f(2x0-x2)，又因為x1

【說明】(1)此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導比較復雜，計算時要引導學生細心觀察；

例5已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍.

(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明x1+x2<2.

解析：(Ⅰ)a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)不妨設x10，x1<1f(2-x2).

又f(x1)=f(x2)=0，即證f(x2)>f(2-x2)，即要證當1f(2-x).

令F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+a(x-1)2-[-xe2-x+a(1-x)2]=(x-2)ex+xe2-x，11,0<2-x<1，所以x-1>0，ex-e2-x>0，所以F′(x)>0，所以F(x)在(1,2)上單調遞增，所以F(x)>F(1)=0，即當1f(2-x)恒成立，所以x1+x2<2.

點評本題利用極值點偏移構造差函數F(x)=f(x)-f(2-x)，然后對F(x)求導，利用單調性，不需要復雜的變形，切入點好，易操作.其解題的本質是x1與2-x2的大小關系不易直接比較時，通過化歸轉化為比較函數值f(x1) 與f(2-x2)的大小關系，再結合f(x)的單調性獲得解決.