聯想問題本原，讓解題思路更為自然
——由一道模考題的講評說開去

江蘇 張朋舉

這是2017年南京市高三第二次模擬考試填空題的第14題，本題考的就是常見的恒成立問題，但由于學生沒能根據已知條件，將要求問題化歸為已解決的本原問題，導致沒能生成問題的解決策略，學生的得分率很不理想.筆者所教班級，全班42人，僅有12人做對了答案.而且，后期在對答對的12位學生進行訪談時，發現他們雖然做對了答案，但帶有很多偶然的因素，根本沒有把握問題的本原.

本原思想是相對學生而言的最樸素、最本質的想法.從問題的本原考慮就是以認清問題的本原為基礎，探尋解決問題的基本方法與規律，達到善于解題的目標，進而提升學生的數學素養.為了更好地發揮本題的功效，筆者借助本題的評講過程，試著讓學生回歸到本原問題考慮，自然生成解題思路，形成良好的解題思維習慣，實現高效解題.

一、評講過程

環節1：基于目標，探尋本原

師：上述是什么問題？有沒有做過這類或者相似的問題？

生1：恒成立問題，做過類似的題，比如：若不等式ax>lnx對任意x∈(0，+∞)恒成立，求實數a的取值范圍等.

師：分析到位，符合上述模考題的特點，下面我們從生1提供的問題出發，看能否有助于模擬題解法的探尋，解決生1的這個問題有哪些方法？

師：思路清晰！還有不同的想法嗎？

師：漂亮！還有不同的想法嗎？

師：非常棒，三位同學從不同角度，用了不同的方法解決了生1提供的問題，哪位同學能給大家對比、分析下這幾種方法嗎？

生4：生1，2均是從“數”的角度考慮問題，其中生1是利用分離變量法處理的，一般情況下，在處理恒成立問題時，優先采用分離變量法；生2從已知條件結構入手，使用構造新函數F(x)=f(x)-g(x)，轉化為求F(x)的最值問題，思路較為順暢；生3從“形”的角度解決問題，構造兩個函數的圖象，數形結合研究兩函數圖象的位置關系，值得學習.

設計意圖：以熟悉的問題作為本原，驅動課堂教學的進行，將本原問題融入到揭示、探究數學本質的活動過程中，實現一題多解，多解歸一，形成一類本原問題的基本方法.

環節2：把握目標，聯想本原

師：同學們，根據歸納出的多種解決策略，能否將方法遷移過來解決前面的模考題？

師：太棒了，當思路不“通暢”時，自然需要調整，向已經解決的本原模型靠攏，正可謂“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”.

環節3：創新解法，源于本原

師：非常好！兩位同學將“本原問題”提供的解法，運用于新題之中，體現了方法的遷移，實現了“解一題，通一類”，然而巧妙的解法常常源于常規方法，抓住代數特點或幾何意義，運用巧妙方法，本題有創新的解法嗎？

師：你們都太棒了!從本原問題出發，提煉方法，創新方法，然后用于新題之中，這才是真正的數學解題學習.回歸到問題本原考慮，奠定融會貫通的基礎，形成良好的思維習慣，實現了高效解題.

設計意圖：模考題經過包裝，將其本原隱藏起來，進而達到考查學生轉化問題和解決問題的能力；從問題的結論深入，發現其中與本原問題的聯系，在“形異神似”中實現方法的正向遷移.達到“解一題，通一類，帶一串，提一片”的目的.

環節4：試題命制，固化本原

師：通過本節課的學習，同學們認識了“一類問題”，通過聯想這類問題的方法，解決了原本不易解決得出的問題，這種將要求問題化歸為已解決的本原問題的思想，是同學們今后解題的一種重要思想方法.請同學們課下自主編制類似題，并嘗試這節課的解決思想方法.以下兩道題是課后經學生整理、自主編制的試題(成果展示).

【答案】(0,2].

命制題2：已知函數f(x)=(x+a)ex+b在原點處的切線垂直于x+y-3=0，若f(x) -msinx≥0對任意的x∈[0，π]恒成立，求m的取值范圍.

【答案】(-∞，1].

設計意圖：及時通過學生編制試題，固化本節思想方法，讓學生嘗到“把握本質問題”帶來的甜頭，通過課后搜集并編制類似題目，進而能更好地把握這類問題的本質，增強學習的自信心.

二、幾點思考

1.重視目標導向

目標導向解題，就是根據目標任務弄清要什么，理清有什么 ，然后縮小有什么和要什么之間的距離，進而嘗試怎樣縮小.解題過程也正是在問題的初始狀態和目標狀態之間進行比較、分析、消除差異，最終找到達到目的的最佳路徑的過程.這個過程中既要對條件多角度轉化，同時更離不開結論的目標導向.解題教學中，只有教師多關注、培養學生“讓結論引導思考”意識，那么當學生遇到復雜問題，就會主動根據目標導向，尋求解決問題的突破口，案例中，筆者根據目標導向，積極引導學生從目標入手，尋求解決問題的突破口,使問題的解決更為順暢，更有助培養學生思維的敏捷性和發散性.

2.聯想問題本原

讓學生養成將復雜問題退到最簡單、最原始問題的思維習慣是解題教學首要任務，這正如項武義教授所言“必須對基礎數學的本質和基本思想下一番深切的返璞歸真的功夫”.“本原思想”是指將一個數學問題的要素和基本結構作為思考的始點，是相對學生而言的最樸素、最本質的想法.解題教學應該積極引導學生探尋問題的本原，讓學生“跳一跳”就能夠到，應該抓住問題的本原，弄清問題的源與流，有意地將問題回歸為已解決的“本原問題”，自然生成解題思路.回歸本原問題，驅動解題教學，能夠充分發揮教師的主導作用.試題講評中，教師讓學生通過聯想已經解決的一道簡單問題，以簡單類似題作為本原問題，驅動解題思維，使解題思路自然生成.