知其然，更要知其所以然
——由Sn求an所想

安徽 陳曉明

在日常測(cè)試中，經(jīng)常出現(xiàn)這類試題：已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列通項(xiàng)an．此類老生常談的問題在高考中也經(jīng)常出現(xiàn)，因此在平時(shí)教學(xué)中教師總是反復(fù)講解，反復(fù)強(qiáng)調(diào)．令筆者感到吃驚的是，考過、講過的試題在下次測(cè)試中再次出現(xiàn)時(shí)，不少學(xué)生依然犯錯(cuò)！老師和學(xué)生都很受打擊．筆者認(rèn)真反思，覺得可能是我們的教學(xué)出了問題．正像人民教育出版社章建躍先生指出的，當(dāng)前教學(xué)中的問題是只關(guān)注“如何算”和“算得快”，而把“為什么這么算”和“如何才能算得快”這些與核心素養(yǎng)更相關(guān)的問題拋到腦后．從而造成學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)是“只知其然，不知其所以然”，總是“重復(fù)昨天的故事”就不足為奇了．

現(xiàn)通過實(shí)例展示．

例1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+10n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

學(xué)生錯(cuò)解1an=Sn-Sn-1=3n2+10n-[3(n-1)2+10(n-1)]=6n+7．

學(xué)生錯(cuò)解2當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=3n2+10n-[3(n-1)2+10(n-1)]=6n+7．

然后就不再繼續(xù)分析，認(rèn)為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式就是an=6n+7．

【分析】錯(cuò)解1的同學(xué)認(rèn)為an=Sn-Sn-1對(duì)n∈N*都成立．什么原因呢？筆者想這可能是思維定式所致．因?yàn)樵谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的題目：已知Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))，求an．這類題目都有a1符合an=Sn-Sn-1(n≥2)，從而誤認(rèn)為an=Sn-Sn-1對(duì)n∈N*都成立．

錯(cuò)解2的同學(xué)認(rèn)為求出了an=Sn-Sn-1(n≥2)就是求出了{(lán)an}的通項(xiàng)公式．這里其實(shí)只是求出了n≥2時(shí)an的表達(dá)式，還有n=1的情況呢？有些同學(xué)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因與錯(cuò)解1相同，還有部分同學(xué)可能是在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)產(chǎn)生了負(fù)遷移：若數(shù)列{an}滿足an-an-1=d(n≥2)(d為常數(shù))，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，從而誤認(rèn)為這里求{an}的通項(xiàng)公式也是一樣，沒有考慮到情況不同了，真是“只知其然，不知其所以然”．

【正解】(1)當(dāng)n=1時(shí)，

a1=S1=3+10=13．

(2)當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=3n2+10n-[3(n-1)2+10(n-1)]=6n+7．

又a1=13符合an=6n+7(n≥2)，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=6n+7(n∈N*)．

小結(jié)：由Sn求an必須按n=1或n≥2，進(jìn)行分類討論，而直接把a(bǔ)n=Sn-Sn-1(n≥2)當(dāng)成數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是很容易出問題的．下面的例子則說明了這個(gè)問題．

推廣如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r為常數(shù)，且p≠0，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí)，

a1=S1=p+q+r．

(2)當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-[p(n-1)2+q(n-1)+r]=2pn-p+q．

若a1=p+q+r符合an=2pn-p+q(n≥2)，則p+q+r=2p-p+q，所以r=0．

否則(r≠0時(shí))，a1=p+q+r不符合an=2pn-p+q(n≥2)．

因此，當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2pn-p+q，可合寫，易知數(shù)列{an}為等差數(shù)列．

【反思】前面的例1、例2正好分別是r=0和r≠0兩種情況，錯(cuò)解1，2碰對(duì)答案純屬巧合．另外，若p=0，則情況相同，只不過r=0時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=q，該等差數(shù)列為常數(shù)列．

問題剖析(為什么這么算？)因?yàn)镾1=a1,S2=a1+a2,S3=a1+a2+a3，…，所以a1=S1,a2=S2-S1,a3=S3-S2，…，因此，an=Sn-Sn-1(n≥2)是從第二個(gè)等式開始的簡(jiǎn)寫，n=1時(shí)不能這么表示，否則a1=S1-S0，沒有意義．

在實(shí)際問題中，有時(shí)并沒有給出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的具體表達(dá)式，而是給出一個(gè)等量關(guān)系式，這時(shí)問題變得復(fù)雜，那該如何求解？請(qǐng)看下面的例子．

例3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

【解析】因?yàn)閍n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)， ①

所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2(n≥3)， ②

①減去②得

an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，

所以an=nan-1(n≥3). ③

因此，當(dāng)n≥3時(shí)，有an=nan-1=n(n-1)an-2=n(n-1)(n-2)an-3=…=n(n-1)(n-2)…4×3a2．(迭代法)

(2)這里，如果我們令bn=nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，那么由已知可得

an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)=b1+b2+b3+…+bn-1(n≥2)，即an=Sn-1(n≥2)，因此an-1=Sn-2(n≥3)，故當(dāng)n≥3時(shí)有an-an-1=Sn-1-Sn-2=bn-1=(n-1)an-1．以下解略．故我們可以得出：給出數(shù)列{bn}的前n-1項(xiàng)的和Sn-1，只不過用an表示(正好有an=Sn-1)，然后由Sn-1求bn-1(道理同由Sn求an)，進(jìn)一步得到一個(gè)關(guān)于an與an-1的遞推式(要特別關(guān)注n的取值范圍)，從而求出所求數(shù)列的通項(xiàng)公式．經(jīng)過這樣的分析，學(xué)生對(duì)問題才能真正做到“知其所以然”，掌握問題的本質(zhì)特征，遇到這類復(fù)雜的問題才不至于經(jīng)常出錯(cuò)．

教學(xué)思考

在人教版教材數(shù)學(xué)(必修)開頭有主編寄語，劉紹學(xué)教授告訴我們“數(shù)學(xué)是自然的：如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味．”同時(shí)他還告訴我們“數(shù)學(xué)是清楚的：清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的結(jié)論，數(shù)學(xué)中的命題，對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)就是錯(cuò)，不存在絲毫的含糊”．既然數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的，那么作為一線教師，在教學(xué)中就一定要做到讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)不但要知其然，更要知其所以然．

那么如何才能做到讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)既知其然，也知其所以然呢？

教師要培養(yǎng)學(xué)生自己“找路”的能力，讓學(xué)生做“司機(jī)”，而不是“乘客”，教師做一個(gè)“指路人”，在學(xué)生遇到岔路口或迷路時(shí)，給予指點(diǎn)．學(xué)生行走的過程中，路邊的風(fēng)景，正是學(xué)生找回路的標(biāo)志，因此課堂上學(xué)生的活動(dòng)看似耽誤時(shí)間，但對(duì)學(xué)生來講是需要的，那是找到回路的“標(biāo)志”，走錯(cuò)路，記憶才能更深刻．讓我們記住關(guān)于教育的一句世界性名言——告訴我，我會(huì)忘記；分析給我聽，我可能記住；如果讓我參與，我會(huì)真正理解．

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，更多地關(guān)心學(xué)生的思維過程，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的問題，啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考或與他人進(jìn)行有價(jià)值的討論，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)，感悟數(shù)學(xué)的思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成并發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．