引導學生由變式途徑復習邏輯推理
——例談復習教學中培養邏輯推理素養的實踐

江蘇 張新志

浙江 余繼光

2017版《普通高中數學課程標準》中，數學學科核心素養擺在突出而重要的位置，數學復習教學中必須加以落實，如何通過有效途徑來落實正是數學教學中需要解決的問題.變式教學是我國數學基礎教育的精髓，將變式教學方法融入到培養學生邏輯推理素養中是一個十分有效的途徑.

一、邏輯推理中的變式途徑

1.邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍成立的命題推理.推理形式主要有歸納、類比；另一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內也成立的推理，推理形式主要有演繹推理.邏輯推理是數學交流的基本品質，使數學交流具有邏輯性.通過邏輯推理核心素養的培養，學生能夠發現和提出命題，掌握推理的基本形式，表述論證的過程，理解數學知識之間的聯系，能夠理解一般結論的來龍去脈，形成舉一反三的能力，能夠形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維習慣和交流能力.

2.變式教學是數學基礎教學中最有效的形式之一，在數學解題教學中，從某一個具體的數學問題入手，通過問題串，設置一條由特殊到一般的探究思“路”，就可以引導學生學會歸納推理的一般方法；在某一問題求解過程中，變式搭建不同的“橋”，使學生產生不同的推理思維，并類比這些推理的本質；在某一問題求解遇到障礙時，變式形成一個個思維的“洞”，讓學生鉆進去體驗演繹推理的嚴謹.

3.變式途徑的設置是靈活的，一要根據學生的認知水平，只有貼近學生，讓學生動動腦筋就能解決問題；二要體現問題求解的邏輯推理規律，因為變式的目的是訓練學生的數學思維——邏輯推理；三要把著力點移到學生的思維碰撞上，產生火花最有效；四要讓學生主動思維，以研究性學習小組的形式最能體現學生思維的主動性；五要讓學生寫出來，只有交流才能從根本上鍛煉學生邏輯推理的真本事！

二、變式途徑中的引導策略

1.探“路”——邏輯思維的“路”，由特殊到一般、由具體到抽象的歸納之“路”，先鋪設一條這樣的“路”，讓學生跟著老師走一遍，然后變式一下，讓學生獨立行走體驗一遍.

2.搭“橋”——邏輯思維的“橋”，由特殊到特殊、由此類到另類的類比之“橋”，先演示搭“橋”術，變式給出搭“橋”材料，通過類比形成思維，解決問題.

3.鉆“洞”——邏輯思維的“洞”，由大前提、小前提到結論的演繹之“洞”，先由經典示例鉆“洞”術，變式給出不同“洞”的材料，讓學生通過演繹推理來解決問題.

三、變式途徑提問題的實踐

1.由變式途徑學會歸納推理

案例1.集裝箱搬運中的運輸方法數

經濟活動：集裝箱是人們生產活動中經常見到的運輸工具，電視節目中也可以看到港口碼頭上成排的集裝箱，為了搬運這些集裝箱，人們不僅要借助大型機械，而且也會思考如何有效地進行運輸，于是提出了下列問題：

例1.如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是________.

基礎探究：數字小，排排看，設集裝箱分別為A1,A2,A3,B1,B2.

所有可能的裝運方法有A1A2A3B1B2，A1A2B1B2A3，A1A2B1A3B2，A1B1A2B2A3，A1B1B2A2A3，A1B1A2A3B2，B1B2A1A2A3，B1A1A2A3B2，B1A1B2A2A3，B1A1A2B2A3,共有10種取法.

變式思考：某貨場有兩堆集裝箱，一堆3個，一堆4個，現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是________.

思路：先排好A1A2A3A4，在其間5個空，現分類插空：

歸納形成一般結論

設某貨場有兩堆集裝箱分別為A1,A2,…,An,B1,B2,…,Bm，n≥m，現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是________.

思路：先排好A1A2A3…An，在其間n+1個空，現分類插空：

……

學生體驗：學生考試成績排序的方法數.

例2.在某次數學考試中，學號為i(i=1，2，3，4)的同學的考試成績f(i)∈{85，87，88，90，93}，且滿足f(1)≤f(2)

學生1：若將題設條件改為f(1)≤f(2)

學生2：此時需要考慮下列四種情形：

學生3：若將題設條件改為f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)，其他條件不變，問題又會有什么變化呢？

學生4：此時除了上述四種情形外，還需考慮：

數學課代表：在我們變換條件的過程中，問題的答案似乎有什么規律，能探索其規律嗎？

學生5：在連接f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的“<”“=”中，考慮“=”的個數的各種情形：

數學課代表：上述結論具有怎樣的規律性呢？能推廣到一般情形嗎？

學生6：在某次考試中，學號為i(i=1，2，3，4，…，m)的同學的考試成績f(i)∈{a1，a2，a3，…，an}，a1

學生7：在連接f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(m)的“<”“=”中，考慮“=”的個數的各種情形：

……

解讀：此案例設置的邏輯推理的“路”就是由具體的、特殊的情形的求解，歸納為一般情形，并將分類討論思想應用其中，使學生在接受思維訓練后，在類似問題中體驗這一歸納推理過程，在一個班級中，不同數學思維層次的學生都會在此問題的求解中有所收獲.

2.由變式途徑學會類比推理

( )

解讀：圓錐曲線問題中，特別是橢圓與雙曲線之間有許多性質是類似的，通過類比推理思維，學生比較容易思維遷移，推而廣之，久而久之，學生會把此類問題中的思維方式類比到另一個領域內解決問題.本案例中有兩座“橋”，一是點對稱概念“橋”；二是代數式變形運算“橋”，后一座“橋”是目前學生最難過的“橋”.

3.由變式途徑學會演繹推理

案例3.如圖，AC為圓O的直徑，B為圓周上不與點A，C重合的點，PA垂直于圓O所在的平面，連接PB，PC，AB，BC，AN⊥PB，AS⊥PC，連接SN，則圖中互相垂直的平面對數有________對.

數一數：圖中有5對互相垂直的平面：

①平面PAB⊥平面ABC，②平面PAC⊥平面ABC，③平面PAB⊥平面PBC；④平面ANS⊥平面PBC，⑤平面ANS⊥平面PAC.

證一證：

變式體驗：