多視角思考一道“坐標系與參數方程”考題

廣東 鄭榮坤

自廣東省高考使用高考全國卷之后，考生可以從“坐標系與參數方程”與“不等式選講”中任選一道題作答.由于“坐標系與參數方程”的常見考題是簡單的解析幾何問題，又是選做題的第一道，所以在緊迫的考試中，學生往往會選做“坐標系與參數方程”試題.而在2017年廣東省揭陽市第一次模擬考試中，大部分學生都無法完整地作答第22題.因此，對這一道“坐標系與參數方程”考題進行多視角的思考便十分必要.

一、呈現考題

(Ⅰ)求曲線C的極坐標方程；

(Ⅱ)若直線l:θ=α(α∈[0,π),ρ∈R)與曲線C相交于A,B兩點，設線段AB的中點為M，求|OM|的最大值.

【解析】(Ⅰ)曲線C的普通方程為(x+1)2+(y-1)2=4.

【評注】該題第(Ⅰ)小題比較簡單，筆者不對其進行深入研究.下面重點探究該題第(Ⅱ)小題的解法.

二、從錯解的視角

學生在解答上述第(Ⅱ)小題時，一般都有解題思路，能動筆演算，但大部分學生會因基礎不扎實、思維不嚴謹等問題而導致解答出現錯誤.因此，教師必須剖析學生的錯誤解法，幫助解答錯誤的學生探究失分原因，讓這些學生避免在后續的考試中重復犯錯，對其他同學起到一定的警示作用.

錯解：設直線l的方程為y=kx.

三、從多解的視角

上述第(Ⅱ)小題是“坐標系與參數方程” 的常見題型，主要考查“直線與圓的位置關系”等相關知識.筆者從多個角度進行挖掘，探究出多種方法來解決該題.

1.轉化為直角坐標方程求解

解法1：依題意可知，直線l過原點O.

①當k=0時，|OM|2=1，則|OM|=1；

解法2：依題意可知，曲線C是以點P(-1,1) 為圓心，2為半徑的圓，連接PM，OP.點M為線段AB的中點.在Rt△OPM中，|OM|2=|OP|2-|PM|2.

【評注】由于大部分學生都能夠想到上述這種“轉化為直角坐標方程求解”的方法，所以這種解法具有普遍性.在利用這種方法解答考題時，為了避免出現煩瑣的解題過程，教師應該建議學生適當地運用數形結合思想.

2.直接利用參數方程求解

解法3：依題意可知，直線l過原點O(0,0)，傾斜角為α(α∈[0,π)).

【評注】利用直線參數的幾何意義求解“直線上的動點到定點的距離、直線上的兩個動點之間的距離”，以及利用曲線參數的幾何意義求解“曲線上的動點到曲線外的定點或定直線的距離”，解題過程往往簡捷、省時.可是，教師必須明確地告訴學生，如果選擇“直接利用參數方程求解”，那么必須熟練地掌握選做題中?？记€(特別是橢圓和圓)和直線的參數方程等相關知識.

3.直接利用極坐標方程求解

設A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，

【評注】大多數學生遇到“坐標系與參數方程”試題，首先想到是轉化為熟悉的直角坐標方程去求解，但相比較而言，本例“直接利用極坐標方程求解”的解題過程更為簡捷.因此，筆者建議教師在教學過程中，要強調應用極坐標知識的重要性.

四、從多變的視角

由于變式教學是高考復習的重要方法和措施，可以在節省訓練時間的情況下，通過一道題的教學，讓學生懂一類題、會多類題，所以筆者分析了全國各地高考試題，對這道揭陽市模擬考題進行了下列變式.教師要讓學生親身經歷變式試題的解題練習，既可以幫助學生梳理“坐標系與參數方程”的高頻考點，又能夠讓學生更好地掌握上述解題方法.

1.求弦長

2.求兩圓公共弦所在直線的方程

3.與圓有關的最值(取值范圍)問題

4.直線參數方程中t的幾何意義的應用

若曲線C與直線l相交于不同的兩點M,N，求|PM|+|PN|的取值范圍.