為何偏偏又是它
——“y2=4x”

廣東 楊偉達(dá)

每年高考題無不例外地引起教育同行高度的關(guān)注和熱議. 同樣，今年高考數(shù)學(xué)試題也如此. 下面是筆者對2018年全國各地高考數(shù)學(xué)考卷中有關(guān)拋物線“y2=4x”的比較和聯(lián)系，旨在尋找題型的規(guī)律，總結(jié)解題方法.

一、題目再現(xiàn)

( )

A.5 B.6

C.7 D.8

2.(2018·北京卷文·10)已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2=4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________.

3.(2018·全國卷Ⅲ理·16)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若∠AMB=90°，則k=________.

4.(2018·全國卷Ⅱ·理19，文20)設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8.

(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

5.(2018·北京卷理·19)已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.

(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍；

6.(2018·浙江卷·21)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上.

(Ⅰ)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；

縱觀上面各地考卷試題，離不開一條熟悉的拋物線：y2=4x，離不開直線與拋物線相結(jié)合這一永恒主題.

二、解答過程與思路剖析

對一道高考試題的求解，關(guān)鍵是審題！題目已知條件、結(jié)論、已知量、未知量、常見的相關(guān)類型題及解題思路等都需要在做題前一一弄明白.

1.方程組+向量坐標(biāo)運(yùn)算

分析題設(shè)沒有涉及長度和夾角，所以可把向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)求解，同時(shí)涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，通常列方程組解決問題.

解：由拋物線C：y2=4x可得F(1,0)，

解得x1=1，x2=4，分別代入y2=4x，

因?yàn)閥>0，所以y1=2，y2=4，

2.點(diǎn)代法

分析本題涉及直線與拋物線的弦長問題，因該直線垂直于x軸，兩個(gè)交點(diǎn)為特殊點(diǎn)，用代入法可求得.

3.構(gòu)造圓+點(diǎn)差法

分析本題從∠AMB=90°出發(fā)，構(gòu)造以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，“設(shè)而不求”即可求k；也可從列方程組出發(fā)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用坐標(biāo)表示∠AMB=90°，求得k.

解：如圖，過點(diǎn)M(-1,1)作一條垂直于x軸的直線l,則直線l為拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線，依題 ∠AMB=90°可構(gòu)造一個(gè)以AB為直徑的圓N且與準(zhǔn)線相切，圓心N為AB的中點(diǎn)，所以yM=yN=1，

設(shè)拋物線上點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因?yàn)镹是AB的中點(diǎn)，所以y2+y1=2，

所以k=2.

注另一解法是從方程組出發(fā)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，用坐標(biāo)表示∠AMB=90°即可求得直線的斜率k.

4.方程組+拋物線定義

分析此題涉及直線與拋物線的弦長問題，通過列方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用拋物線的定義，“設(shè)而不求”即可. 第二問涉及過兩動(dòng)點(diǎn)、且與準(zhǔn)線相切的圓方程問題，利用圖形的幾何性質(zhì)，“設(shè)而又求”求得圓心和半徑，問題解決.

解：(Ⅰ)由拋物線C：y2=4x可得F(1,0) ，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

所以直線l的方程y=k(x-1)，

化簡為k2x2-(2k2+4)x+k2=0，

由拋物線的定義可知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2,

由|AB|=8得x1+x2=6，

所以直線AB的方程為y=x-1. ①

(Ⅱ)如圖，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為N(a,b),半徑為r=a+1，

由x1+x2=6得x中點(diǎn)=3，代入①，求得y中點(diǎn)=2,

所以中點(diǎn)M(3,2)，直線AB的中垂線為x+y-5=0.

圓心N在直線AB的中垂線上，則有a+b-5=0，

解得a=3,b=2,r=4，或者a=11,b=-6,r=12，

所以圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.

5.點(diǎn)代法+方程組

分析本題涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程即可.第二問涉及向量，需要用坐標(biāo)形式表示. “設(shè)而不求”、代入、消元即可求證.

解：(Ⅰ)拋物線y2=2px過點(diǎn)P(1，2)，

所以4=2p，解得p=2，所以拋物線方程為y2=4x．

由題意可知，設(shè)過(0,1)的直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+1(k≠0)，

依題意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0，解得k<1(k≠0)，

所以直線l斜率的取值范圍是(-∞，-3)∪(-3，0)∪(0，1).

(Ⅱ)證明：不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6．點(diǎn)代法+列方程組

分析本題主要考查橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系. 第一問，通過“設(shè)而不求”“消元轉(zhuǎn)化”即可求證；第二問，利用第一問的結(jié)果，把三角形面積用坐標(biāo)表示，代入并轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值,即可將問題解決.

因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，

所以y1+y2=2y0．

因此，PM垂直于y軸．

點(diǎn)評縱觀前面幾道答案，全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷的解析幾何試題給人很傳統(tǒng)的感覺，都是平時(shí)見過的常規(guī)題，運(yùn)算量不大，其解法在教材中都能找到，側(cè)重考查主干知識(shí)和核心思想；而地方卷(北京卷、浙江卷等)盡管與全國卷一樣注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、核心思想、通性通法，但是涉及的動(dòng)點(diǎn)較多，目標(biāo)設(shè)置有新意，需要考生在運(yùn)算、消元方面能力更強(qiáng)，需要考生“忙而不亂”“亂而有序”，否則霧里看花、無從下手！

三、追根溯源

源于課本(高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1課本第69頁例4)斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長.

有關(guān)拋物線“y2=4x”模型，經(jīng)筆者查找，課本第69頁例4、第71頁例6、第72頁練習(xí)第3題及第4題、第73頁習(xí)題第5題、第80頁第11題都涉及它.在拋物線的教學(xué)課堂中，它出現(xiàn)的頻率很高，主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線定義及性質(zhì)，主要涉及參數(shù)、最值、弦長、方程等相關(guān)問題.在解題方法上強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)的通性通法，即聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式和韋達(dá)定理化簡求解.

源于高考1.(2017·全國卷Ⅰ理·10)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D,E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為

( )

A.16 B.14

C.12 D.10

考點(diǎn)分析考查了直線與拋物線相交，求弦長和最小值問題. 對拋物線的弦長問題，要抓住拋物線定義，利用直線與拋物線聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式、韋達(dá)定理求解.這些都是高中數(shù)學(xué)的通性通法，需要重點(diǎn)掌握；對最值問題，通常想到用函數(shù)或者基本不等式來求解.

點(diǎn)評當(dāng)求得|AB|+|DE|最小值為16時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩直線的斜率分別為k=±1，此時(shí)|AB|=8，|CD|=8，這就是課本例題4的解法和答案，答案是巧合還是故意設(shè)置？這或許是課本例題的延續(xù)吧.在強(qiáng)調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段賦予課本的例題、習(xí)題新的生命，這依然是高考命題專家的一種喜好.

四、解后反思

1.與新課標(biāo)吻合，突顯核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是考生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域必備品格和關(guān)鍵能力.必備品格是指具有必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，具有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)、和計(jì)算意識(shí).關(guān)鍵能力包括空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力、數(shù)據(jù)處理能力，數(shù)學(xué)抽象和概括能力、數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》明確提出要培養(yǎng)考生“提出問題、分析問題、解決問題”的能力.傳統(tǒng)意義上的難題主要集中在解析幾何和函數(shù)這兩大知識(shí)塊.而今年高考中，解析幾何試題的難度略有下降，試題的命制依綱按本，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，突出通性通法，符合新課程理念，很好地將知識(shí)、思想方法、能力、數(shù)學(xué)文化、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)高度融合，題型常見，創(chuàng)新背景不偏不怪，易讀懂，運(yùn)算量不大，解決問題的方法都是高中數(shù)學(xué)的核心思想.重點(diǎn)考查主干知識(shí)，突出思維能力和運(yùn)用能力.

2.挖掘教材資源，尋找子母題

當(dāng)前教育的一個(gè)現(xiàn)象：許多學(xué)生參加完中考或高考后發(fā)現(xiàn)課本跟三年前入學(xué)派發(fā)時(shí)的課本一樣新！是考生的選擇性錯(cuò)誤還是教師的引導(dǎo)性錯(cuò)誤？什么講學(xué)稿、導(dǎo)學(xué)案、校本教材占據(jù)考生的大部分時(shí)間，從而使得考生無暇顧及課本，造成兩者不可兼得的事實(shí).而高考試題常考常新，不可能一模一樣，為了避免考生題海戰(zhàn)，必須關(guān)注、尋找子母題，在子母題中合理的改變條件和求解目標(biāo)(變條件、變結(jié)論、變參數(shù)、變方法)，有利于提升考生對核心問題的把握能力，有利于提升考生的思維品質(zhì)，這需要教師精選好題，深入剖析，合理變式.

子母題所具備的條件：

(1)以聯(lián)想拓展學(xué)生思維

以子母題為原型，引導(dǎo)考生發(fā)現(xiàn)問題，對知識(shí)點(diǎn)、思想方法的聯(lián)想，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，不斷發(fā)散考生的思維，不斷誘發(fā)考生從題設(shè)的已知去拓展，去豐富，去完善已有的知識(shí).

(2)以問題引領(lǐng)有效課堂

它具有深刻的歷史背景和現(xiàn)實(shí)意義(主要指教材教參及高考背景)，具備解決類似問題的通性通法，同時(shí)也具有自身的一些特性.教師層層設(shè)置問題，為學(xué)生提供由易到難，由淺入深的知識(shí)鏈，讓考生經(jīng)歷綜合題的生成過程.

子母題發(fā)揮作用：

它具有代表性、典型性、科學(xué)性.在課堂教學(xué)中，從子母題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解題方法并能熟練掌握，就會(huì)大大激發(fā)學(xué)生的成就感和獲得感，由于得到深刻的思考，不少考生在考場中容易找到解題的方案，攻克平時(shí)沒有頭緒的難題，無形中消除了懼怕心理，從而提高考生解決問題的能力.

拋物線“y2=4x”具備子母題的條件：

(1)它不是二元二次齊次方程，二次項(xiàng)的系數(shù)為1，比橢圓、雙曲線方程來得更簡單.而且它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線都是0或1的整數(shù)，便于運(yùn)算；(2)用好拋物線定義，可以替換線段的長度.在降低難度、減少運(yùn)算的情況下，拋物線y2=4x是個(gè)最好的選擇；(3)它與直線相交，聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程時(shí)，各項(xiàng)系數(shù)來得簡單、容易些，同時(shí)它還與梯形、三角形、圓等都有很好的結(jié)合點(diǎn).