一道高三檢測題的多解、推廣及源頭

甘肅 李守明

(Ⅰ)求橢圓的方程；

本題是蘭州市2017年3月高考診斷考試理科第20題，筆者通過給出幾種不同的解法，探討所給答案的合理性，順藤摸瓜給出這種題的一般結論及源頭.

1 解法及評注

解法1：設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

所以x2+2y2-4(xx2+2yy2)+12=0，

即x2+2y2-4[(x1+2x2)x2+2(y1+2y2)y2]+12=0，

設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，

【評析】求解動點P與兩個相關點M和點N的問題，需要尋求點M和點N兩點之間坐標的關系.

所以x2+2y2=20，后續解法同解法1.

解法3：設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

設kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，

即sinαsinβ=-cosαcosβ.

所以x2+2y2=20，后續解法同解法1.

【評析】解法4借助橢圓的參數方程，利用同角三角函數之間的平方關系，從三角函數的角度找到了解法3背后解題方法的根據.

2 推廣及證明

在本文題目下的解法3中，形式上把點P的坐標代入橢圓方程，得到與x1x2+2y1y2有關的表達式，故只需使x1x2+2y1y2為定值，或者更特殊一點，使x1x2+2y1y2=0，則可以得到點P的軌跡方程，這是本文題目的一個重要特征，受這種特征和解法的啟示，從而有了下面的推廣：

證明：設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

證明：設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

3 追本溯源

(Ⅰ)求該橢圓的標準方程；