三角恒等變換面面觀

陜西 韓紅軍 張紅祥

三角恒等變換在近五年均有考查，重點考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的綜合應用，主要體現在:(1)三角函數的化簡；(2)三角函數的求值；(3)通過恒等變換研究函數的性質等，既有選擇題又有填空題，分值5分，難度中等，掌握三角函數的和差公式，二倍角公式是解決問題的關鍵.

一、三角函數式的化簡

三角函數式常見的化簡方法：(1)異名化同名、異次化同次、異角化同角、弦切互化；(2)“1”的代換，三角公式的正用、逆用.

【評注】1.化簡原則：(1)一看“角”,這是最重要的一環,通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的轉化,再使用公式；(2)二看“函數名”,看函數名之間的差異，從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”；(3)三看式子“結構特征”,分析結構特征,可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升冪”等.

2.化簡要求：(1)使三角函數式的項數最少、次數最低、角與函數名稱的種類最少；(2)式子中的分母盡量不含三角函數；(3)盡量使被開方數不含三角函數等.

二、三角函數的求值問題

1.給角求值

給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角,要觀察所給角與特殊角間的關系,利用三角變換轉化為求特殊角的三角函數值問題,另外此類問題也常通過代數變形(如正負項相消、分子分母相約等)的方式來求值.

A.tan9° B.-tan9° C.tan15° D.-tan15°

=-tan9°,故選B.

【評注】發現關系式15°+9°=90°-66°是解題的突破口.

2.給值求值

給值求值問題是給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值.

(Ⅰ)求cos2α的值；

(Ⅱ)求tan(α-β)的值.

(Ⅰ)求sin(α+π)的值；

3.給值求角

給值求角問題實質上可轉化為“給值求值”問題，先求所求角的某一三角函數值，再利用該三角函數值結合所求角的范圍及三角函數的單調性求得角.

三、求三角函數的最值(值域)

解：由原函數得sinx-ycosx=1-2y，

例8.求函數y=(4-3sinx)(4-3cosx)的值域.

【評注】求三角函數的最值(值域)常見的類型與方法：

四、三角恒等變換的交匯應用

1.三角恒等變換與三角函數性質的交匯

利用三角恒等變換先將三角函數式轉化為y=Asin(ωx+φ)的形式，再求其周期、單調區間、最值等一直是高考的熱點.

例9.(2018·上海卷·18)設常數a∈R，函數f(x)=asin2x+2cos2x.

(Ⅰ)若f(x)為偶函數，求a的值；

解：(Ⅰ)∵f(x)為偶函數，

∴f(x)=f(-x)，即asin2x+2cos2x=asin(-2x)+2cos2(-x)，得2asin2x=0，從而a=0.

【評注】常見的考查方式為先將三角函數式轉化為y=Asin(ωx+φ)的形式，再求其周期、單調區間、最值等，有時也與函數、方程等交匯起來，出其不意，又不落俗套.

2.三角恒等變換與解三角形的交匯

三角恒等變換經常出現在解三角形中，與正弦定理、余弦定理相交匯，綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等，是高考考查的熱點內容.

例10.已知銳角△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sinC(a+b-c-acosB)=sinB(acosC-b+c)，b=3，求a2+c2的取值范圍.

【評注】根據所給條件解三角形時，主要有兩種途徑：(1)利用正弦定理把邊的關系化成角，因為三個角之和等于π，可以根據此關系把未知量減少，再用三角恒等變換化簡求解；(2)利用正弦、余弦定理把邊的關系化成角的關系，再用三角恒等變換化簡求解.

3.三角恒等變換與平面向量的交匯

三角恒等變換與向量的交匯問題是高考中經常出現的問題,一般以向量的坐標形式給出與三角函數有關的條件，并結合簡單的向量運算，往往是兩向量平行或垂直的計算，把向量形式化為坐標運算后，接下來的運算仍然是三角函數的恒等變換以及三角函數、解三角形等知識的交匯運用.

【評注】此類問題常用基本數學知識如下：令a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a·b=x1x2+y1y2，a∥b?x1y2-x2y1=0，a⊥b?x1x2+y1y2=0.

4.三角恒等變換與導數的交匯

三角恒等變換與導數的交匯是高考命題的一個方向，近幾年屢次出現在高考及其模擬題中.

例12.已知f(x)=ax+sinx(a∈R).

x00,2π3 2π32π3,π πf'(x)+0-f(x)0增π3+32減π2

(Ⅱ)∵f(x)=ax+sinx，f′(x)=a+cosx，

∴g(x)=ax+sinx+cosx+a.