三角形與向量難舍難分

山東 李景臣

平面向量是高中數(shù)學的重要工具之一,它不僅可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解,也可以把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解.它與高中數(shù)學的許多模塊(三角函數(shù),平面解析幾何,立體幾何,數(shù)列,不等式等)都有緊密聯(lián)系.三角形與向量存在著密切的關系，三角形與向量綜合考查是高考命題的熱點，本文從簡單到復雜,剖析三角形與向量綜合的幾個類型.

1.三角形元素的向量表達：根據(jù)平面向量基本定理、共線向量定理和平面向量的各種運算關系，把三角形中的一些元素使用已知向量表達.

( )

【分析】根據(jù)三角形面積公式，只要求出sin∠AOB即可，根據(jù)向量夾角公式可得cos∠AOB，使用同角三角函數(shù)關系后代入三角形面積公式整理即得.

【點評】本題給出了使用三角形兩邊的向量表達三角形面積的方法，可以看作是三角形面積的向量計算公式，當在平面直角坐標系中已知三角形的三個頂點計算三角形面積時使用這個公式是很方便的.

2.與三角形四心有關的向量問題：三角形重心、外心、內(nèi)心、垂心通常稱為三角形的四心，與四心有關的向量問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類考試題中.

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A．重心 B．垂心

C．內(nèi)心 D．外心

( )

A．sinθB.cosθ

C.tanθD.不能確定

【點評】本題是一道難度較大的三角形中的向量關系試題，解題的關鍵是把三角形的邊向量轉(zhuǎn)化為三角形外接圓的半徑向量.

3.根據(jù)三角形滿足的向量關系式解決三角形問題：三角形的元素往往以向量形式給出，需要分析向量關系解決三角形中的問題.

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A．等腰非等邊三角形

B．等邊三角形

C．三邊均不相等的三角形

D．直角三角形

4.三角形中的向量計算：

方法2：由余弦定理|AB|2=|AM|2+|BM|2-2|AM|·|BM|cos∠AMB=32+52-2×3×5cos∠AMB，

|AC|2=|AM|2+|CM|2-2|AM|·|CM|·cos∠AMC=32+52-2×3×5cos∠AMC，∠AMB+∠AMC=180°，兩式相加為|AC|2+|AB|2=2|AM|2+2|CM|2=2×(32+52)=68，

【點評】三角形的一條邊上的中線把三角形分為兩個三角形，這兩個三角形有兩組對邊相等，相等的這兩組對邊的夾角互補，利用余弦定理可以建立中線和三邊長度的關系式.三角形中的向量計算要充分使用正余弦定理.

5.解三角形與向量計算的交匯綜合：三角形是幾何圖形、向量具有代數(shù)與幾何的雙重身份，在試題中解三角形與向量的交匯是自然的.

(1)求角B的大小；

【分析】利用數(shù)量積定義和正弦定理變換已知表達式為三角函數(shù)形式，進行三角恒等變換得出角B的三角函數(shù)值，進而求出角B；根據(jù)余弦定理得出關于a,c的方程，使用重要不等式得ac的最大值.

所以(2a+c)accosB+cabcosC=0，

當且僅當a=c時取等號，此時ac的最大值為4，

【點評】三角形的兩邊表示的向量的數(shù)量積可以用兩邊的邊長和夾角表示，這種表示經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中.本題第二問還可以根據(jù)正弦定理得出a,c關于角A,角C的正弦關系式，通過三角變換求解.

6.三角函數(shù)、解三角形、平面向量的交匯綜合：高考是綜合性的，把三角函數(shù)、解三角形、平面向量進行綜合，是高考中命制三角函數(shù)類解答題的主流命題模式之一.

【分析】(1)對函數(shù)解析式進行恒等變換，將其化為一個角的三角函數(shù)，然后根據(jù)角的范圍和三角函數(shù)性質(zhì)即得；(2)把向量關系式化為三角形中的邊角方程，使用正弦定理和余弦定理得方程解之.

∵向量m=(1,sinA)與向量n=(2,sinB)共線，

∴sinB=2sinA，

由正弦定理得b=2a， ①

由①②解得a=1,b=2.

【點評】在這類試題中向量關系表達的是三角形中的邊角關系，只要使用向量知識把這個關系化為三角形中的邊角關系，問題就轉(zhuǎn)化為三角形中的問題.正弦定理在邊角關系中主要功能之一是實現(xiàn)邊與角的三角函數(shù)的互化，把方程化為只含三角形的邊或者只含三角形的角的三角函數(shù)的方程，實現(xiàn)問題的突破.

7.向量在解三角形中的應用：

(1)若兩船能相遇，求m．

【分析】(1)可以構(gòu)成三角形，解三角形；(2)此時不能構(gòu)成三角形，使用平面向量的方法表示兩船的航行方向和航程，根據(jù)向量的模建立兩船之間距離關于時間的函數(shù)關系.