“數系的擴充與復數的引入”模塊的復習策略

安徽 朱啟州

從近十年高考數學對復數的考查來看，主要集中在以下幾個方面：(1)復數的基本概念，如實數、虛數、純虛數、共軛復數、復數的模；(2)復數的幾何意義；(3)復數的四則運算、模與共軛復數等；(4)自然數系到復數系的關系及數系擴充的基本思想.從歷年學生答題情況看，常常因概念不清、方法不當造成失誤.數的概念擴充至復數后，實數集內的一些結論在復數集內不一定成立，因此，要重視常見結論成立的條件，注意實數與復數的區別與聯系.現以高考常見題型為例，展現不同的解題方法、常見錯誤，供讀者參考借鑒.

一、復數運算,重視式子(x+yi)(x-yi)=x2+y2的理解與運用

復數的概念是運算的基礎，高考數學往往以復數的運算為基礎，考查復數的基礎知識與運算能力.

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A．-i B.i

C.-1 D.1

【解3】設z=x+yi(x,y∈R)，則(x-1+yi)(1+i)=2i，

即(x-1-y)+(x-1+y)i=2i，

【點撥】解1，2都是運用復數的運算性質，求出復數z，進而得出結果；解3通過設z=x+yi(x,y∈R)，根據復數相等的條件，確定待定系數x,y的值，從而得出結果.在解1，2中運算(x+yi)(x-yi)=x2+y2，常出現(x+yi)(x-yi)=x2-y2的錯誤.主要原因是對虛數單位i理解錯誤，正確的是i2=-1,i3=-i,i4=1,….x,y分別是復數x+yi(x,y∈R)的實部與虛部，常錯誤理解為其虛部為yi，易錯選A.

( )

【答案】C.

二、復數的幾何意義，重視幾何、向量與三角等知識的綜合運用

復數的幾何意義是高考數學又一熱門考點，常借以考查學生數形結合與轉化能力.

( )

C.1 D.3

【解3】由復數的幾何意義和向量的平行四邊形法則，

由|z1|=|z2|=1，知四邊形OACB是菱形，如圖，

于是|z1+z2|=1，故選C.

【解4】由復數的幾何意義，得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)=4,所以3+|z1+z2|2=4,于是|z1+z2|=1,故選C.

【變式】如圖，在平行四邊形OABC中，頂點O，A，C在復平面內分別表示0，3+2i,-2+4i,則B點對應的復數為________.

即B點對應的復數為1+6i.

三、復數的模與復數的共軛復數，重視常見結論的推導

復數的模與共軛復數是復數模塊中的兩個核心概念，與之相關的結論不算少，如復數相等、復數為零、復數為實數、復數是純虛數的充要條件等，這些結論往往是命題的來源之一.

【例3】(2017·全國卷Ⅰ理·3)設有下列四個命題

p2:若復數z滿足z2∈R，則z∈R；

其中的真命題為

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A.p1,p3B.p1,p4

C.p2,p3D.p2,p4

【點撥】復數的模與共軛復數的常見結論：

復數四則運算常見結論：

若i為虛數單位，則

①i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈Z);

以上結論不一定都要記憶，但一定要通過推導，加深對復數四則運算、模的運算與共軛復數的理解，強化對復數的認識.