初中數學動點軌跡問題解法探究

曾立萱

摘 要 在研究動點問題時，可以在運動中尋找不變的量，借助引參量、消參數的代數方法發現動點坐標、動點之間的聯系。也可以借助常見的幾何模型探究幾何動態中動點形成軌跡的過程，利用軌跡思想解決幾何中線段最值問題、求動點的軌跡長度的問題。

關鍵詞 軌跡意識；引參量；消參數；幾何動態；最值；運動路徑；四點共圓；輔助圓；隱軌跡

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）10-0147-02

在初中階段常見的動點軌跡一般有四種類型：直線型、圓弧型、拋物線型、雙曲線型。對于用二次函數來表示動點的軌跡是高中函數重點學習內容，本文不以具體闡述。對于幾何動點軌跡問題是近年中考的熱點，也是難點。本文借助幾種常見的類型題，帶領同學們強化軌跡思想，學會利用軌跡思想解決幾何中線段最值問題、求動點的軌跡長度的問題。

在研究動點問題時，可以在運動中尋找不變的量：數量或位置關系。學生在解決此類問題時經常不知所措，究其原因是不能發現“動”中的“靜”。如何“化動為靜”呢？可以借助引參量、消參數的代數方法發現動點的坐標、動點之間的聯系。也可以用“中垂線的性質定理”、“點到直線的距離”、“圓的定義”、“四點共圓”的條件去探究幾何動態中動點形成軌跡的過程。

類型一：動點旋轉型——探究動點的軌跡是直線

例1：如圖1，已知A（8，0），P（0，m），線段PA繞著點P按逆時針方向旋轉90°至線段PB位置，連接BA、OB，求BO+BA的最小值？

解析：主動點是P，動點B因P的變化而變化，但點B隨著點P的運動而動，問題的關鍵是找出動點B的運動軌跡。由旋轉可知 是等腰直角三角形，過點B作 軸的垂線，構造“K型全等”，求得點B（ ），消去參數 ，發現動點B的運動軌跡是直線 。從而將問題轉化為“將軍欽馬”問題模型：即作點O關于直線 的對稱點 （-8，8），連結AC與直線 相交于點B，此時BO+BA的最小值=AC=

本題的解析關健是從動點B的坐標（ ）中想到消去參數 ，得一次函數的表達式，從而化“動點軌跡”為定直線。筆者認為，用這樣的方式去分析解決問題體現了初中數學中消參思想、轉化思想，重點突出了函數知識的應用、強化了模型意識，對培養學生的數學思維是有積極作用的。

類型二：動點平移型——探究動點的軌跡是線段

例2：如圖2，點P是正方形ABCD的邊BC上的一個動點，BC= 。點Q在線段BC延長線上，且BP=CQ，過Q作QO⊥BD于O，求在點P運動過程中，線段OP中點M的運動路徑長。

解析：雙動點P、Q在同一條直線上平移，由BP=CQ， 易證四邊形APQD是平行四邊形，且 是等腰直角三角形。而對于動點O、P的中點M的運動路徑是什么形狀，這里很難“一眼看穿”，而在初中平面幾何中合情推理是解決問題的有效手段。

所以可由“特殊到一般”，尋找動點P、Q、O、M的開始位置、終止位置、中間某一位置，通過畫圖的方法探究動點的形成過程。如圖2如示：開始動點P與點B重合，動點Q與點C重合，點O是對角線AC與BD的交點，故點M1在 的位置；終止時動點P與點C重合，動點Q滿足 ，點O與點D重合，故動點 在CD邊的中點上，所以線段OP中點M的運動路徑長=線段 的長=

我們知道數學中的合情推理并不是嚴謹的解題方法，所以可以引導學生們做進一步的思考：如何證明線段OP中點M的運動路徑就是線段 ？仍然可以用函數的思想，建立合適的平面直角坐標系（以點B為坐標原點，分別以直線BC、直線AB為 軸、 軸），設BP=CQ=

容易得出點P的坐標是（ ），點Q（ ），點O（ ， ）由中點坐標公式可得M（ ，消去參數t，所以動點M在直線 上運動。由題意可知 ，所以動點M的起點坐標是 ，終止坐標是 ，由“兩點之間的距離公式得”點M的運動路徑長=

本題的兩種不同解法按學生知識架構的“由淺入深”的過程，把“幾何問題代數化”從而使問題得到完美的解決。

變式練習：如圖3，在邊長為4的等邊 中，動點P在BC邊上從點B到點C運動，求線段AP的中點Q的運動路徑長？

分析可得：過A作 于點H，動點Q到直線BC的距離始終等于 AH，所以動點Q在中位線DE上運動，故線段AP的中點Q的運動路徑長=2

類型三：“動點到定點的距離是定長”類型——探究動點的軌跡是圓弧

例3：如圖4，邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60度，點M是AD的中點，點N是AB邊上的一個動點，將△AMN沿直線MN折疊到△A'MN，連接A'C，則線段A'C長度的最小值是

解析：用動點的軌跡意識來解決線段長的最值問題，成為這幾年的中考填空壓軸題的熱點。當問題的背景能得到“動點到定點的距離是定長”，則可用圓的定義知：動點的運動軌跡是圓弧。如圖可知A'M=1，所以無論動點N在何位置，動點A'在以點M為圓心，1為半徑的圓M上運動。故由“兩點之間，線段最短”可知，當A'、M、C三點共線時，線段A'C最小值= =

解決此類動點軌跡問題的關鍵是尋找圓的圓心與半徑，在問題背景上常提問“幾何線段最值”，所以常考慮求幾何線段最值的依據：三角形三邊關系；兩點之間線段最短；垂線段最短等。

通過以上具體教學例題的分析，可以得知在初中生現有的知識范圍內，中考中常見的動態問題中，動點等動元素是在一個不變的背景下或者框架下運動的。動點軌跡一般都是確定的，只是有的時候題目直接交代了，屬于“顯軌跡”，而有的題目沒有明確交代，自然可稱為“隱軌跡”，發現了這些軌跡、路徑，所謂的動態問題也將不再那么的無跡可尋！找到了軌跡，就找到了要害！總而言之，在教學中教師要幫助學生們樹立用軌跡思想解決動態問題的意識，并且要反復強化，以達到熟能生巧的地步！

參考文獻：

[1]張衛東.初中數學動點軌跡初探[J].中學數學教學參考旬刊，2016（4）：67-69.

[2]孫世軍.淺談初中數學動點問題的解題策略[J].中學課程輔導（教師教育），2015（23）.