從代數式運算角度看數學問題

摘 要 初中數學中代數式運算看似是一種形式運算，實際它在一定程度上可以簡化計算，也可通過運算看清問題本質，甚至可以把問題一般化，從而把問題推廣，本文通過具體實例展示從代數式運算看數學問題。

關鍵詞 代數式運算；數學問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）10-0072-01

問題一：兩位數相乘，十位相同，個位相加等于10。

例如：14×16=224；13×17=221；22×28=616；35×35=1225

上式運算規律屢見不鮮。筆者從代數式運算角度加以說明。

解：假設被乘數與乘數十位都是x，個位分別是y和z，則（10x+y）（10x+z）=100x（x+1）+yx，yz就是被乘數與乘數的個位的乘積，100x（x+1）表示x（x+1）落在百位位置。那么當個位相加不足十或超過十如何處理，現假設y+z-10=m（m≠0），則（10x+y）（10x+z）=100x（x+1）+yz+100xm

如何看上述代數運算，例如26×27，則x=2，y=6，z=7，m=3。我們同樣運用上述規律6×7=42，2×3=6，結果642，但是還要加100xm=10×2×3=60，所以最終結果642+60=702。

那么對于三位數乘以三位數，百位數相等，去掉百位數后兩數相加等于100。例如234×266。運算規律為34×66=2244，2×3=6，結果為234×266=62244，代數運算原理同上。

數與數的運算在很多情況下都有簡便快速的運算方法，在小學就經常訓練簡便運算，甚至有很多書籍專門介紹簡便運算，究其原理，大多可以從代數運算層面解釋。

問題二：

當然此類問題是高中數列中求和問題，在初中數學競賽中可能出現，可從代數運算角度思考。

解：因為 所以

本題先從代數式運算出發，通過運算完美地開方，關鍵開方后實現裂項相消，從上述解答來看，已對問題作了推廣。

問題三：當 ， ，代數式 的值是多少？

解： ，代入a，b的值，則原式

在初中階段，代數式求值運算是一類常見的題型，如果直接代數運算，求解過程將顯得復雜、粗心的話還將陷入絕境，若通過代數運算先把代數式化簡，再代數，才能真正實現撥云見霧，給人一種柳暗花明的感覺。

問題四：求解方程： 。

解：因為此方程為倒數方程且x=0不是方程的解。方程兩邊同時x2得 ，整理得

設 ，則 ，原方程化為y2+y-6=0，解得y=2或y=-3。當y=2時，解得x=1；當y=-3時，解得 或 。

上述方程從結構上看是一元四次方程，但通過代數運算和換元之后變成一元二次方程，問題變得清晰明了。初中階段絕大部分無從下手的方程基本都是熟悉的陌生人，通過代數運算，往往“原形畢露”。

問題五：魔術師的數學：魔術師讓觀眾任意寫一個四位數（四個數字不要都相同），然后用這四位數的四個數字再隨意組成另外一個四位數，接著兩四位數相減（大數減小數），最后讓觀眾心中記住所得差中的任意一位數字，把剩下數告訴你魔術師。例如：四位數一：8745；調序后四位數二：4758；相減得3987；心中記?。?；余下的告訴魔術師：398；那么魔術師怎么能猜透你心中的7呢？代數原理如下：

假設四位數為 ，不妨調一下順序 ，那么abcd-dcba=9（111a+

10b-10c-111d）

可見結果必為9的倍數，那么其各位數字之和也是9的倍數，魔術師就是抓住此必然規律。

數學魔術蘊含必然的數學規律，需轉化為數學問題，而此時的數學問題往往是代數問題，通過對代數問題的分析，抽絲剝繭，才能揭開魔術的神秘面紗。

教學反思。初中代數式運算貫穿數與式的運算、方程與不等式求解、函數問題，幫助學生從數量關系角度準確清晰地認識、描述以及理解現實世界。但是如果只追求代數式運算的科學性和系統性，過分追求“形式化”，忽略其與生活的聯系和應用價值，這將使學生喪失學習興趣，本文通過代數式運算角度闡述數學問題的解答，尋求解答規律，展示其原理，一定程度上讓學習感受到代數式運算的實用性，加強學生對所學知識的理解。實際上，初中教學不應停留在傳授數學知識層面，應讓學生學會數學的思考，用數學的眼光探索數學知識的聯系，甚至看清世界。

參考文獻：

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[2]劉明偉.巧求代數式的值[J].語數外學習，2012（1）：43-44.

[3]黃格群.換元法在初中數學中的應用[J].學練研究，2018（2）：68.

作者簡介：程足根（1967-），男，江西南昌，學歷：本科，職稱：中學一級教師，研究方向：代數數論。