連續型隨機變量概念的教學導入

廣西桂林市桂林旅游學院 林弋程

在概率論與數理統計入門課程中，通常把隨機變量分類為離散型隨機變量和連續型隨機變量進行介紹。在描述隨機變量的統計規律時，需要給出其取值范圍和概率分布信息。對于離散型隨機變量，只需要列出其取值以及每一個取值對應的概率（即分布律），這種方式不但簡單明了，而且在生活中有人們經常能接觸到的大量具體實例，如各種古典概型問題，因此初學者相對容易掌握。但是，刻畫連續型隨機變量的概率分布時，需要先假設存在某個黎曼可積且具有非負性和規范性的函數（稱之為概率密度函數），以此函數為被積函數進行定積分，進而給出隨機變量處于某個區間的概率。可以看到，后一個概念比前一個概念抽象、復雜得多，并且由于連續型隨機變量事實上是一個數學上的概念抽象，在日常生活中難以遇到直接的對應物，這使得初學者掌握這個概念的難度大為增加。“數學概念是數學的邏輯起點，是學生認知的基礎，是學生進行數學思維的核心，在數學學習與教學中具有重要地位”，因此，在連續型隨機變量概念的教學中，需要教師采用適當的導入方式來提高教學效果。

一、常見連續型隨機變量概念的教學導入方式

通過研究概率論與數理統計眾多國內外著名教材發現，當前連續型隨機變量概念的教學導入主要有四種方式。

第一種導入方式：先舉例說明存在取值個數為不可數無窮的隨機變量，無法如離散型隨機變量用分布律刻畫其概率分布，必須采用新的刻畫方式，隨后直接給出用概率密度定積分刻畫連續型隨機變量概率分布的定義，如教材[1]、[2]、[3]等。需要指出的是，后面列出的三種導入方式都是在這種導入方式的基礎上通過加入新內容完成導入的。

第二種導入方式：主要通過對某個具體實例中的連續型隨機變量（記為X）進行處理，進而導入連續型隨機變量的定義（如教材[4]等），步驟如下：（1）對X進行大量抽樣；（2）等間距劃分X的取值區間，得到若干個小區間；（3）把X的抽樣樣本放置到前述小區間的“容器”內；（4）定義用于近似X的離散型隨機變量Y，其取值為各個小區間內任意選出的代表值，每個取值的概率為各個小區間“容器”內樣本的頻率值；（5）繪制Y的概率直方圖；（6）為了讓Y不斷逼近X，不斷細分前述小區間，并重復步驟3至步驟5；（7）觀察到前述過程中繪制出的直方圖上部輪廓越來越“光滑”，逐漸顯現出一條連續曲線，據此把這條曲線定義為X的概率密度函數，并把曲線在X所處區間內的面積定義為X的概率，再把面積和定積分等同起來，最終完成連續型隨機變量概念的導入。雖然這種導入方式在學習效果上擁有具象化的優點，而且由上述步驟4中Y的定義方式，非常容易得出概率密度應滿足非負性和規范性的特征，但是限于書本篇幅，很難在書本上列出足夠多的樣本以支持“不斷精確化”的過程演化，需要借助多媒體手段方能將模型具象化。例如，在教材[4]中，雖然畫出兩幅反映演化過程的概率直方圖，但卻沒有給出任何具體樣本，只是讓讀者想象有很多樣本存在，初學者往往只能窺得其中概覽，而無法自己完成概念的整個具象化過程。此外，這種導入方式的過程本身比較復雜，是否符合各個層次初學者的接受能力亦存在一定的疑問。

第三種導入方式很大程度上是第二種方式的逆過程：先選擇某個之前已經學過的離散型隨機變量，例如在教材[5]中，Larsen R J 和Marx M L選擇的是幾何分布隨機變量，然后畫出對應的概率直方圖，最后用連續曲線疊加在直方圖上（連續曲線的選擇標準：在任意區間上，離散型隨機變量的概率盡可能接近連續曲線下的面積），據此得到啟發，連續型隨機變量的概率應該通過某個函數的定積分來賦予。雖然這種導入方式非常巧妙，但是初學者首次接觸這一導入過程時，難免會產生“這一過程是如何想到的？”疑問，也容易形成連續型隨機變量只是用于近似計算離散型隨機變量的概率的錯覺。

第四種導入方式：利用前置課程已經學習的一個幾何概型實例，先通過對求得的概率表達式進行變形，表達成對某個函數的積分，然后對被積函數進行延拓定義，規定延拓區域函數值恒為零，最后說明這就是連續型隨機變量的定義方式，并給出連續型隨機變量的定義，如教材[6]、[7]等。通過對比可以看出，這種導入方式較第二種和第三種更直接和更簡單，但是由于在導入過程中沒有對為何變形為積分形式的“動機”進行合理說明，無法起到啟發式概念導入的作用，更像是引用了一個用于說明抽象定義的實例。此外，選擇的實例是否貼近普通人的生活經驗，是否能激發初學者的學習興趣對這種導入方式的學習效果有著關鍵性的影響，而教材[6]、[7]中更多采用的是概念上的實例。

二、借助幸運轉盤導入連續型隨機變量概念

根據荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾的數學教育思想，數學教育應該從學生的數學現實出發，從生活的現實出發，提出問題、解決問題，然后通過概括提高，升華為數學概念和法則以及數學思想。幸運轉盤是人們在日常生活中時常遇到的一種頗具趣味性的抽獎工具。我們可以通過對它進行詳細分析，借此導入連續型隨機變量的定義。

下面具體給出這種導入方式。出于完整性考慮，假設初學者接觸這個概念之前沒有學習過幾何概型的內容。

通常情況下，設計者依據事先規劃好需要設置的各種獎項的數量及其中獎概率，在幸運轉盤上劃分出相應的若干個扇區。每個玩家都希望自己能中最大獎，不妨稱之為特等獎，自然也就很關心該獎項的中獎概率。由于扇區大小用弧度表示是最為簡便的，為了一般化，設特等獎所在的扇區為區間（a,b]。對于正常幸運轉盤，轉盤轉動停止后，指針指向的位置（設為連續型隨機變量Z）在各個弧度上都是等可能的，因此，各獎項的中獎概率與扇區大小成正比，且與扇區所處位置無關。具體到特等獎中獎，其概率為P{a＜Z≤b}=k（b-a），其中k為待定的正比常數。由P{0＜Z≤ 2π}=k（2π-0）=1，得k=1/2π。若此將結論變形為定積分形式，即并在全體實數上定義函數f（x），使其在（0,2π]上等于1/2π，在其余區域等于零，那么到目前為止，該引例蘊含的教學導入方式除了在貼近生活的程度上有明顯區別外，在方法上并無二致。

為了激發初學者的學習興趣，可以考慮改變引例的分析情景。假如某人想對幸運轉盤“動手腳”，即讓指針指向各個位置并不是等可能的，而是更多地偏向小獎項，大獎項的中獎概率則被調小，這在計算機實現的幸運轉盤中完全是有可能的，那么他如何達成“目標”呢？根據微積分知識，我們知道，要使指針指向在可能性上不均勻分布，即要求指針指向不同位置時可以有不同的概率變化率。為此，在（0,2π]上定義概率變化率函數，記為f（x）。假設f（x）連續或分段連續，并將f（x）的定義延拓到（-∞，+∞），令f（x）在（0,2π]之外均為零，則f（x）滿足非負性和規范性，并且對于任意區間（a,b]，同時也容易看出，要控制幸運轉盤的中獎特性，即是要設計出恰當的指針指向概率變化率函數f（x）。至此，連續型隨機變量定義的教學導入已完成。

三、教學實施

將這種導入方式運用到教學中時，可以很容易設計出多個教學環節激發學生學習興趣和提高學生的參與程度。這里簡單列出幾個，僅供參考。在介紹幸運轉盤時，可以選擇播放某個利用幸運轉盤行騙的短視頻，一來將學生帶入教學情境中，二來可以起到防騙教育的作用。如果先分析正常幸運轉盤，可以由教師引導學生分組討論“中獎特性”“用何種方式描述中獎區域”等問題，直到引導學生得出“用扇形的弧度描述中獎區域”“中獎概率與中獎區域大小成正比”的相關結論。在考慮不正常幸運轉盤時，可以將事先制作并發布到網上的幸運轉盤游戲讓學生用手機試玩，讓他們真切感受幸運轉盤的“黑幕”，便于后續啟發學生關于概率變化率即概率密度的概念。此外，還可以考慮在制作的幸運轉盤游戲中加入調整指針指向概率密度以及統計各獎項實際中獎頻率等功能，讓學生實際體驗概率密度與概率之間的關系，十分有利于培養學生在連續型隨機變量概念方面的數學直覺。

本文提出了一種新的連續型隨機變量定義的教學導入方式，相對于已有的幾種導入方式，它具有如下幾個方面的優點：一是導入方式中采用的場景更貼近普通人的生活，具有趣味性，因而更能激發初學者的學習興趣；二是概率密度的概念和連續型隨機變量的定義方式，可以基于導入過程的具體場景被更簡單明了地引出，啟發效果更好；三是導入方式更充分地體現了運用數學建模解決實際問題的思想，因此更有利于培養初學者運用連續性隨機變量的能力；四是將此導入方式用于教學中，在教師的主導下，可以更容易地提高學生的參與程度。