分類討論思想在初中數學解題中的應用

江蘇省海門市常樂初級中學 沙小飛

分類討論思想在數學學習中有著重要的應用，但不少初中生卻無法從解題中感受到分類討論思想的優勢。其實，分類討論思想能夠幫助學生更好地在解題中發現各個條件之間的內在聯系，通過分類討論思想去尋找問題解決的策略。分類討論思想必須基于一定的數學實踐，解題過程并不是理論說教，那么教師如何運用于數學解題，以提升學生的解題技巧呢？

一、把握應用原則，靈性提升解題能力

分類討論思想的核心內涵之一是分類，教師在培養學生的解題能力時就要引導學生科學、合理地分類，學生必須遵循這一基本原則才能有效應用。在分類討論思想中，學生要明白兩個應用原則：一是同一性與相稱性原則，它的要求是學生在分類時要統一標準。例如如果是三角形的分類，既可以按角的大小進行分類，也可以按邊的大小進行分類，學生只能以一個標準進行分類，而不能采用不同的分類標準進行歸類，否則會出現交叉等錯誤。二是互斥性與多層次性。互斥性是指在分類過程中，各個子項應該是互相排斥的，不能出現各子項之間的包含關系，否則會出現分類交叉和遺漏現象。如初三2班參加體育興趣小組，參加跑步和跳遠的有7人，參加跑步的有4人，參加跳遠的有5人，由此推斷出其中有2人參加這兩項運動。顯然，將7人分類為參加跑步、跳遠兩項活動存在邏輯性錯誤。正確的分類應是跑步的有3人，跳遠的有2人，兩種活動都參加的有2人。可以說，學生必須遵循相關的分類原則，才能讓解題思路更加清晰，使分類過程更為科學、合理，最終有效解題。

二、把握應用策略，靈性提升解題能力

1．在函數解題中的應用

函數是初中數學的難點，而位置又非常重要。為此，初中數學教師應加強培養學生的分類討論思想，并使其能夠靈活應用在函數的解題中。從函數知識的特點來說，函數可劃分為一次函數、二次函數、反比例函數等，學生應依據實際情況解決問題。例如這樣一道題目：某工廠加工一批男鞋和女鞋，其中男鞋和女鞋的總數量為3.7萬雙。其中，女鞋比男鞋的2倍還多0.2萬雙。問：男鞋和女鞋各生產了多少萬雙？在引導學生解決這道題目時，應先使其明確可應用幾次函數解決問題，然后再提問學生是否需要結合其他知識，進而再引導學生積極探索問題的解決方法，得出正確的結果。具體方法是：設男鞋x萬雙，女鞋y萬雙，再根據題意列出方程：x+y=3.7，y=2x+0.2。接著通過作出兩個一次函數的圖象并取其圖象的交點，最后得出結論。對于該道題目來說，教師可以通過滲透分類討論思想，使學生能夠根據函數的分類方法去尋找問題解決的策略，最終有效解題。

2．在不等式問題中的應用

不等式問題的解決是初中數學的又一個難點，而分類討論思想的應用也是比較廣泛的。教師在引導學生解決不等式問題時，要巧妙滲透分類討論思想，以提升學生對不等式問題的解決能力。例如這樣一道簡單的不等式問題：(k-1)x＞k2-1。在這個問題的解決過程中，教師應先引導學生明確討論對象及其取值范圍。在該問題中，可發現討論對象是k，其取值范圍應包括三種：k＞1、k=1、k＜1三種情況。然后教師再引導學生針對每個分類進行詳細地討論，并得出結果。對于這道題目來說，當k＞1時，即k-1＞0，則x＞k+1；當k=1時，即k-1=0，則不等式無解；當k＜1時，即k-1＜0，則x＜k+1。最后，教師應引導學生將所有的結論歸納在一起，得出最終的結果。解決此題，其最終結果是：當k＞1時，x＞k+1；當k=1時，不等式無解；當k＜1時x＜k+1。通過總結解題過程，學生從中能夠發現，在應用分類討論思想時，也應當按照一定的步驟，以保證在更加復雜的問題中有序、合理地分類、驗算、歸納、總結，從而得出正確的結果。另外，在數學幾何、數學方程、概率題、有參數問題中，分類討論思想的應用也非常廣泛，教師在實際教學中，應依據具體知識板塊引導學生采用合理的分類討論方法，從而提高學生的解題速度。

三、注意應用情況，靈性提升解題能力

分類討論思想的應用雖然有一定的廣泛性，但它的應用必須基于一定的數學內容，這是學生在解題過程中必須認真考慮的問題。教師可以通過展示一些比較常見的數學問題，使學生能夠在多樣化的問題解決中不斷豐富分類討論思想，以促使學生能夠在遇到相似問題時，快速、準確地采用分類討論方法解決問題。

首先，在有些數學概念中，其定義就是分類的。當學生的知識結構中包含分類討論思想時，他就會利用此思想去解決問題，這其實也是學生數感的體現，比如絕對值方程。另外，有些數學概念在定義時就已經對自己的范圍進行了限制，學生在解題時必須突破思維障礙，靈活應用分類討論思想去解決問題。比如二次方程，其系數不能為零。其次，在一些數學運算的使用范圍限制情況下，若要突破這些限制，則也要采用分類討論方法解決問題。如零不能作為除數；不等式換算時，其系數正負問題等。再者，在幾何問題中，如果圖形位置、形狀無法確定，學生則應當采用分類討論方法解決問題。如點與線的位置、直線與圓的位置等。最后，有些數學題目條件比較開放，其最終結果也不是唯一的，那么在解決這種題目時則也要應用分類討論方法，以避免漏解。

總之，分類討論思想的應用范圍非常廣泛，解題能力的培養是多元化的，學生想更好地應用分類討論思想提升解題能力，必須明確分類原則，并采用合適的解決方法歸納、總結分類問題，從而得出正確答案。同時，教師還應當重視建立一個長效機制，逐步提升分類討論思想應用能力，并提升學生思維的科學性、條理性，從而促進學生的學習。

[1]徐翠英．淺談初中數學中的分類討論思想[J]．時代教育（教育教學），2010（03）．

[2]楊懷宏．分類討論思想在初中數學中的應用[J]．數理化學習（初中版），2008（07）．

[3]沈順良，王丹群．滲透分類討論思想教學案例一則[J]．中學數學月刊，2009（10）．