略談幾何體外接球半徑解題的策略

張福源

高中立體幾何中空間想象能力的培養是重點，也是教學的難點，而探求幾何體的外接球半徑R于多數學生而言是一個難點，針對這種現象，本文結合筆者多年的教學經驗談談這類題型的解題的策略及常見思路，以供讀者參考。

一般地，求幾何體的外接球半徑R的常見策略可按思維習慣分為五步思考法，依次為：第一步，化為長方體或正方體;第二步，找直徑;第三步，射影定理;第四步，找球心;第五步，建系，下面舉例說明。

第一步：化為長方體或正方體

眾所周知，長方體或正方體的體對角線長就是其外接球的直徑，若能把題目中的幾何體還原到長方體或正方體，問題就好辦，這里首先要熟知一些常見模型（如正四面體、墻角型的三棱錐等）怎樣還原為長方體或正方體，其次要熟悉長方體與正方體的性質。

例1三棱錐A-BCD中，AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=4，求三棱錐A-BCD的外接球的表面積。

解析 初看本題，似乎好難。但仔細分析發現，三棱錐的對角線長均相等，立即聯想到長方體面對角線長相等，問題迎刃而解。

例2 某幾何體的三視圖均為邊長是2的正方形，如圖2，試求該幾何體的外接球半徑。

點評 通過以上兩個例題可以發現，能夠還原為長方體或正方體的模型具有的特征：題設反映的信息均與長方體或正方體的性質有關，例1中對角線長相等（矩形性質），例2中三視圖外形均為正方形（正方體的三視圖即是）。其實很多問題可以還原為長方體或正方體，只要平時善于分析與總結，處理這類題不是難事。

第二步：找球的直徑

點評 立體幾何題目離不開畫圖并結合兩個定理（性質定理與判定定理）分析解題，充分挖掘內涵，努力求出任兩點距離及尋找任一線的垂面，做到“心中有形神州行”！

第三步：射影定理

第四步：直接定球心

第五步：建立空間坐標系法

思路是：通常建立空間直角坐標系，用待定系數法求出球心坐標，然后通過兩點間距離公式得到球半徑。

點評 可見，解析法不需要復雜的空間想象，難度小，適合空間想象能力弱的同學，但要求計算能力要過關。

當然，任何一道數學題的解法可能不唯一，以上介紹的五步法不是孤立的，它們會互相聯系，如例7，可以用找球心的思路進行求解，只要我們在平時練習與訓練中不斷滲透這五步法的精神，采取自己最為熟悉方法入手，必將攻破這一難關。