基于核心素養的極坐標與參數方程難點之探究

黃喜濱 江澤

近年來，教育界對于培養高中生數學核心素養問題日益重視，數學核心素養是學生通過數學的學習、反思、積累、升華、孕育出來的，面對復雜的、不確定的現實情境和問題時，能夠綜合運用特定的數學觀念、知識、技能、思維模式、探究技能等，用積極的態度、科學的精神去分析問題、提出問題、解決問題、交流結果的過程中表現出來的綜合性品質，通過對高中數學核心素養養成問題的探究，使教育界認識到：應將學生的數學能力構建納入到優化他們今后的學習和思維能力上來，這將有力改觀傳統高中數學教學生態，數學學科提出“數學抽象”、“邏輯推理”、“直觀想象”、“數學建模”、“數學運算”、“數據分析”這六大學科核心素養，高中數學學科核心素養是在學生數學學習過程中逐漸形成的，滿足學生終身學習和社會發展需求的綜合能力與品質，是高中數學學科課程目標的集中體現。

作為高考選考的選修4-4《坐標系與參數方程》相對較為簡單，所以大部分考生都選做這一題，縱觀近幾年的高考數學，對《坐標系與參數方程》也有了更加新穎的考法，越來越經常考查應用參數方程求最值或范圍問題，越來越重視利用直線參數方程t的幾何意義求距離或相關問題，越來越注重應用極坐標求距離或面積等，從一線教學中發現很多學生對這些難點題型及解題規律不夠熟悉，掌握較為薄弱，認識較為模糊，本文結合筆者的教學實例，總結處理相關問題的方法。

1利用直線參數方程中t的幾何意義求與距離有關的問題

評注 極坐標與直角坐標互化時需注意：其一是互化的前提：極點與原點重合，極軸與x軸正方向重合，取相同的單位長度;其二在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一，在曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉化的等價性。

分析 （I）先將曲線G和直線l的方程化為直角坐標方程，再利用直線與圓相切求出直線l的直角坐標方程，再將直線l的方程化為極坐標方程;（Ⅱ）將直線l的參數方程和圓的直角坐標方程聯立方程組，利用韋達定理和參數方程的幾何意義，求出代數式的取值范圍。

評注 本題難度較大，要求學生不僅要掌握直線參數方程中t的幾何意義，還要懂得靈活應用，本題涉及到直線和兩條曲線的問題，要求學生數形結合，從交點和定點的相對位置先判斷t的正負，從而去掉lACl和lBDl的絕對值符號，把所求問題轉化成韋達定理中出現的式子來求解。

小結 將陌生的問題轉化為學生熟悉的模型，凸顯邏輯推理的合理性，有助于邏輯推理和數學運算素養的建構.數形結合，有效提升了“直觀想象”這一核心素養的教學價值。

2利用曲線的參數方程求最值（范圍）問題

利用曲線的參數方程求解兩曲線間的最值問題簡捷方便，是我們解決這類問題最常用、最普遍的好方法.因此，必須熟悉常見曲線的參數方程，掌握參數方程和普通方程的互化以及參數方程的簡單應用，數形結合，根據圖形優化解題策略，選擇用參數法還是普通方程法。

評注 一般涉及橢圓上點的最值問題、定值問題、軌跡問題等，我們直接處理不好下手時，可考慮利用橢圓的參數方程.設點坐標為（acosα，bcosα），將共轉化為三角問題求解，在參數方程方面，我們一定要了解參數方程及其意義，其與普通方程之間的互化是一個重點，在寫直線、圓和圓錐曲線的參數方程時，學生一定要注意參數方程中參數的幾何意義。

評注 將曲線參數方程化為普通方程的關鍵是消去其中的參數，常用的技巧有：代入消參、加減消參、整體消參、平方后加減消參等。如果題目中涉及圓、橢圓上的動點求相關最值（范圍）問題時，可考慮用其參數方程設出點的坐標，將問題轉化為三角函數問題得以解決，使解題的過程簡單明了。

小結 從文字語言到圖形語言的轉化，是將抽象信息轉向可視信息.不同語言間的轉化是數學題教學的重點和難點.在例4中借助構造直觀圖形，通過分析圖形獲得解答方法，“圖形”成為輔助思考的關鍵點，“想象”成為創新思維的核心點.這對如何在學習過程中構建數學問題的直觀模型去探索問題的思路有一定的借鑒作用。

3 利用極坐標系中p的幾何意義求有關距離或相關問題

《極坐標與參數方程》的解題思路通常是把極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程，用普通方程的方法解決，但從近幾年的試題來看，也不全是如此.眾所周知，極坐標中的p為極徑，表示曲線上這一點與極點O之間的距離，因此題目中出現過極點的直線時，出現與極點相關的距離、面積等問題時都可首選運用極坐標p的幾何意義來解決，容易發現，這種方法要比化為直角坐標運算簡捷得多！

評注 碰到軌跡問題，常用的入題方法是“求誰設誰”，再根據題目已知點滿足的方程整理便可，第（Ⅱ）問重點考查極坐標系中p的幾何意義，注意為過坐標原點，傾斜角為00的直線極坐標方程，其上兩點P（），Q（）的距離為lPQl=lPi-P2l，可以看到利用p的幾何意義解題便捷許多。

小結 當我們直接利用極坐標系求解時，經常數形結合觀察是否存在通過極點的直線，如此更凸顯思維的簡潔性和直觀想象力，提升了“直觀想象”這一核心素養的教學價值，這對如何建立數與形之間的關系輔助教學思考起著積極的催化作用，也對如何利用圖形描述、分析數學問題起到一定示范作用。

核心素養貫穿數學學科教學始終，也貫穿學生的個人成長始終，是學生終身學習與社會實踐的基礎，本文通過對極坐標與參數方程常見難點的探究，不僅能有效調動學生的學習熱情，激發學生濃厚的學習興趣，更重要的是消除了學生的“恐懼”心理，幫助學生建立學好數學的信心，培養了學生的創造性思維，也使得學科核心素養的培養有依托、有根基，水到渠成，最后希望廣大教師加強對核心素養的研究與學習，并充分發揮核心素養的教學指導作用，推動教學改革、促進學生發展。

參考文獻

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