蛋糕中的組合數(shù)

胡博

引言：把一個(gè)蛋糕切1刀最多切成2塊，切2刀最多4塊，那么切3刀呢？

顯然，這是一條小學(xué)級別的、帶一點(diǎn)腦筋急轉(zhuǎn)彎色彩的數(shù)學(xué)題.但當(dāng)年，小伙伴們的答案卻是6（如圖1）；而我思索了一會，美滋滋地向老師報(bào)出自己的答案：7.（如圖2）

可惜，這依舊是個(gè)錯(cuò)誤答案.但是老師給出的“8”并不能讓我釋懷：誰家蛋糕會橫著切啊！

于是，我很自然地開始思考這樣的問題：如果只限豎著切，那么n刀最多能切成幾塊？小學(xué)的故事到此為止，下面開始用高中的知識來解決這個(gè)問題.

以圖6為例，第4刀切過了圖5中的4塊區(qū)域，并且將每塊切成了新的兩小塊.仔細(xì)分析后不難得出，要使塊數(shù)最多，第n刀必須與之前的n-l刀相交，這樣便增加n-l+l=n塊蛋糕，

可是，這不是數(shù)列問題嗎！說好的組合數(shù)呢！別急，看看上面的四張圖，線段與圓的交點(diǎn)分別是2，4，6，8……奇數(shù)去哪了？

腦袋比較靈活的同學(xué)可能已經(jīng)反應(yīng)過來了：你這是切蛋糕啊！為了保證塊數(shù)最多必須每刀都和圓有兩交點(diǎn)啊！是的，所以我改了下題目：在圓周上的n個(gè)點(diǎn)兩兩連線，最多可以把圓分成幾份？

這和剛才有什么區(qū)別呢？

我來畫張圖（如圖7）：

咦？似乎規(guī)律很明顯呢！ 1，2，4，8，16，這串?dāng)?shù)字再熟悉不過了.似乎這題已經(jīng)被解決了.

直到我又加了一點(diǎn)：

別數(shù)了，圖8中一共31塊（中間有一小塊）.

等一等！不應(yīng)該是32嗎？

七個(gè)點(diǎn)時(shí)，共57塊，這下徹底和2沒關(guān)系了.

仿照我們之前切蛋糕的過程，我們用圖9中的線段AB為例分析一下.這一條線與其他6條弦相交（不算首尾）.使7個(gè)區(qū)域一分為二變成14個(gè).但并不是每條線都是如此，圖中的AC就只切了4條線5塊區(qū)域.

所以我將區(qū)域分成兩種，以AB為例，起點(diǎn)不算，與其他弦相交6次，每次使1塊區(qū)域分成2塊；除此之外，AB最后還和圓相交，同樣使區(qū)域+1.

由于最開始（不畫線）時(shí)有圓本身，起始值就是1，

那么，區(qū)域數(shù)就是：1+線線交點(diǎn)十線圓交點(diǎn)÷2.

線線交點(diǎn)怎么求呢？這些點(diǎn)都是兩個(gè)線段在圓內(nèi)相交得到，我們可不可以求出線段數(shù)m，再算出交點(diǎn)數(shù)呢？

為什么會行不通呢？我們可不可以找出行不通的原因，再反向補(bǔ)全我們的思維漏洞呢？

如圖10，AB與CD、AD與BC的線段顯然沒有交點(diǎn)，為什么？因?yàn)檫@兩個(gè)線段在圓內(nèi)沒有交點(diǎn).那么O點(diǎn)又是從哪來的呢？是AC與BD兩線的交點(diǎn).