一道模考題的一題多解

王圣昊

本題是2017年泰州市高三一模試題，考場上難住了我們很多考生，大家普遍認為該題較難，無從下手，本人在老師的指導下，經過一番研究，得出四種解決方案，分享給同學們.

一、不等式法

思路分析求線段BC的長的取值范圍，最直接的想法是通過不等式來解決.

由幾何中求圓的弦長的基本方法：設BC=x，取BC的中點為M，連結OA，OM，MA，OB，由垂徑定理求出OM，再由三角形△OAM，列不等式可解.

點評 圓的幾何性質常常是解決圓的問題的最直接、最有效的方法.在三角形中常用兩邊之和大于第三邊和兩邊之差小于第三邊，求代數式的最值或取值范圍.

二、軌跡法

思路分析上面通過構建不等式使問題獲得了解決，但作為解析幾何題我們更想通過解析的方法來解決.

點評 軌跡問題是解析幾何的兩大核心內容之一，求點的軌跡方程最常用、最基本、最簡潔的一種方法是直接法：直接設出動點的坐標，根據題意列出幾何關系式，代入動點的坐標并化簡，得出動點的軌跡方程.

圓上的動點到一個定點的距離的最小值和最大值分別為d-r和d+r，其中r為圓的半徑，d為定點到圓心的距離.

三、幾何法

在△OAM中，我們可以通過中線公式，求出MN的值，再利用三角形的性質求出AM的取值范圍，從而求出BC的取值范圍.

點評解析幾何是通過代數方法（方程思想）來解決幾何問題，但反過來幾何的性質也可以幫助開拓解題思路，優化解題過程.如本題中應用的圓的性質、三角形中線長公式和三角形的性質等.

四、構造法

思路分析 上面三種方法都是直接探求弦長BC的取值范圍，我還發現了一個構造新的數學模型的方法.

同理：求BC長的最小值時，如圖5.

點評 通過構建新的數學模型來解決問題，比較新穎，但這種方法技巧性強，難度大，對我們能力要求高.本題解模過程中還應用了柯西不等式，也要求有相當多的知識儲備.

通過本文案例告訴我們，求某一代數式（或某幾何量）的取值范圍（或最值）的方法，主要有幾何法和代數法兩種.幾何法是借助幾何性質知，何時（或何處）取得最值，從而求出該代數式（或該幾何量）的取值范圍（或最值）；代數法是引入某個（或某些）變量，將該代數式（或該幾何量）表示為該變量的函數（或這些變量的代數式），再求該函數（或該代數式）的最值.