“另眼”待題

常文武

我的侄女在加拿大念高中，最近告訴我她在參加一個數學競賽，六道題目中最難的就是這樣一道：問1～9這9個數字構成的多位數（2位以上）中，從左念到右，數字遞增的多位數有多少個？

對這道題，命題者提供的解法很新穎，只要考慮集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9）的所有非空子集的個數即可.因為任何該集合的非空子集中的元素必可按升序排序，這樣就可以排出一個多位數，其數字是遞增的.注意到這樣的數在取定子集后是唯一的，扣除空集和{1}，{2），{3），{4}，{5），{6}，{7}，{8），{9}這九個單點集本身，答案就是29 -1 -9=502.

解答中用29來計數9元集合的所有子集，用了高中知識冪集的概念.但也可以繞過冪集的概念去理解它：對于從{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取出的任何集合而言，它的產生等同于回答了九個“Yes-or-No”問題.就是說，依次問第i個元素是否要出現在子集中？那么這九個“Yes-or- No”問題就構成了產生一個子集合的9個步驟.用乘法原理就可以算得答案應該是29.

我們還可以用加法原理來計算.

可見數學問題的求解方法往往是條條大路通羅馬的.

再來看看同場考卷中另一題.經改編略去一些噦嗦的話，該題相當于問：

如果不定方程3χ+4y=N在正整數范圍內求解只有唯一一組解，那么N的最大可能值是多少？

答案是24，相應的χ，y的值是4，3.

為何N不能大于24了呢？答案的提供者這么說：現在N=24是4個3和3個4的和，要是再大些的N，必定需要使得3的個數或4的個數增加.當3的個數上升到5個或更多，就可以勻出4個3來當它是3個4，充實到4的個數中，導致此解有了二義性.同理，當4的個數超過3，也可以勻出3個4來當它是4個3，充實到3的個數中，也導致了解的不唯一.所以24是能夠滿足題設的最大值.

這個解法通俗易懂，可是想到這么來解還不太容易.

最直接的想法是把N當成是直線方程3χ+4y=N的參數.所問即當這條直線在第一象限內只經過唯一一次整格點，求N的最大值.

我們用幾何面板來探究一下這個問題.

“觸礁”提示我們，橫坐標或縱坐標都不能大過某個值！細研究還發現，直線經過的兩個點的坐標此消彼長.橫坐標加4，縱坐標減3；或者反之，橫坐標減4，縱坐標加3.

至此，我們也探究出答案來了.比（3，4）還遠離原點的其他點一定不是孤立的！

當然，更專業的辦法是解不定方程.根據數論的一個定理，這個方程在整數范圍內的全部解就是：χ=-N+4k，y=N-3k，k∈Z.由于χ，y都要是正整數且k唯一，故

我們分析了兩道題，先把一個復雜問題簡單化，再把一個簡單問題“復雜”化.為的是闡述一個道理：條條道路通羅馬，其中必有最短路.若我們能常以“另眼”看待手邊經討的顥目，你的解顥枝能必有大的突破.