衛星的發射速度——物理競賽中宇宙速度的分析推導

楊陽

航天的首要問題是必須使飛行器具有足夠大的速率，才能脫離地球、其他行星乃至太陽的引力，在空間作無動力飛行.這就涉及宇宙速度的計算.在高中物理教材中，只簡單介紹了第一宇宙速度的求解方法，對于第二、第三宇宙速度沒有進行有關數學的推導和運算.在物理競賽中涉及了三大宇宙速度的具體求解方法.

衛星繞地球網周運動速度的參考系是地心，不是地面，衛星在地面未發射時已經具有相對地心的白轉速度.

衛星發射速度是衛星從地面到達近地衛星高度時具有的速度，不是衛星在地面時的速度.

一、第一宇宙速度

從地面發射一物體，使之能在無動力情況下環繞地球做網周運動而不落下，所需的最小速度叫第一宇宙速度.設地球質量為M地=6×l0²⁴ kg，地球半徑為R=6.4×10⁶ m.當衛星能沿以地球半徑的網周運動時，它所受的地球引力正好等于衛星運動所需的向心力時，衛星的速度為v1，則有：

因為第一宇宙速度等于物體繞近地面的圓周軌道環繞運轉的速度，所以又叫近地的環繞速度.航天器在距離地面表面數百公里以上的高空運行，地面對航天器引力比在近地面時要小，故其速度也略小于v1.

二、第二宇宙速度

從地面發射一物體，使之脫離地球的引力而不再回到地球，所需的最小發射速度稱為第二宇宙速度.我們可利用機能能守恒定律來求解第二宇宙速度v2.設無窮遠處的引力勢能為0.根據地面上和無窮遠處的機械能相等，有：

這就是地面上的物體要逃離地球引力范圍所需的最小速度，故第二宇宙速度又叫脫離速度.當發射速度略大于第二宇宙速度時，雖然發射的人造星體將逃離地球引力范圍，但仍受到太陽引力的作用，它將成為太陽系的人造行星.

三、第三宇宙速度

由地面發射一物體，使之不僅脫離地球的引力，而且還能脫離太陽的引力所需的最小速度叫做第三宇宙速度.我們把人造星體從地面發射到脫離太陽引力的過程假想地分成兩步來處理：

第一步，使人造星體從地面發射到脫離地球引力：

第二步，使它再脫離太陽的引力.

有兩點說明：

①因為地球繞太陽公轉的橢網軌道的離心率很小，可以當作網來處理.

②發射時其他行星對物體的引力很小，可以忽略不計.

基于這兩點簡化，發射過程可以應用機械能守恒定律.

但由于地球繞太陽公轉，人造星體在地球表面時已經有繞太陽公轉的線速度.為此，可使發射方向與公轉方向一致.不難算出，地球繞太陽公轉的線速度為

即若要擺脫太陽引力的束縛飛出太陽系，其發射速度必須等于或大于16.7 km/s，所以第三宇宙速度又叫做逃逸速度.

需要注意的是，這是選擇航天器人軌速度與地球公轉速度方向一致時計算出的v3值；如果方向不一致，所需速度就要大于16.7 km/s了.可以說，航天器的速度是掙脫地球乃至太陽引力的唯一要素，目前只有火箭才能突破第三宇宙速度.