例析黃金代換式在解題中的用法

張同洋

黃金代換式在解天體問題中占有很大的比重.用之，可使問題分析變得更加簡捷.不少學生對此式如何使用、在什么時候使用不清楚，本文通過實例對黃金代換式的用法進行歸類分析，以示引導，更好地提高學生分析解決問題的能力.

二、用法歸類

（一）用于求解中心天體的質量與密度

已知星球半徑時，只要求出表面重力加速度，可直接利用黃金代換式求出星球質量，再由密度公式即可求出星球的平均密度.

方法遷移

宇航員站在一星球表面上的某高度處，沿水平方向拋出一個小球.經過時間T，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L.若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為√3L.已知兩落地點在同一水平面上，該行星的半徑為R，萬有引力常量為G，求該星球的質量M.

（二）用于求解物體距天體表面的高度

當問題牽涉到地面不同高度或不同星球表面上重力加速度時常用比例法，可以簡化

方法遷移

一物體在地球表面重16 N，它在以5 m/s³的加速度加速上升的火箭中的視重為9N，則此火箭離地球表面的距離為地球半徑的

（）

A.2倍

B.3倍

C.4倍

D.一半

答案B

（三）用于代換中心天體的質量

在不知中心天體質量的情況下，可用其半徑和表面重力加速度來代換.如求解衛星的速度、加速度、周期等.

例3 地球半徑為R，地表重力加速度為g，求第一宇宙速度（即近地衛星的速度）.

方法遷移

一星球密度和地球密度相同，它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，則該星球質量是地球質量的（忽略地球、星球的白轉）

（）

A.2倍

B.4倍

C.8倍

D.16倍

答案C

鞏固訓練

1.一個登月的宇航員，能否用一個彈簧秤和一個質量為m的砝碼，估測出月球的質量和密度？如果能，說明估測方法并寫出表達式.設月球半徑為R，彈簧秤示數為F.

2.某星球質量是地球的10倍，半徑是地球的2倍，太空人在星球上跳起的高度是地球的多少倍（設人跳起的初速度相同）？

3.設地球的半徑為R0，質量為m的衛星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g0，則以下說法錯誤的是

（）