“萬有引力與航天”中常見問題及討論

戴靜華

3.極地衛星和近地衛星

（1）極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球白轉，極地衛星可以實現全球覆蓋.

（2）近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速網周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s.

（3）兩種衛星的軌道平面一定通過地球的球心.

例2 質量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運動視為勻速圓周運動.已知月球質量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉的影響，則航天器的（）

例4 北京航天飛行控制中心對“嫦娥二號”衛星實施多次變軌控制并獲得成功，首次變軌是在衛星運行到遠地點時實施的，緊隨其后進行的3次變軌均在近地點實施.“嫦娥二號”衛星的首次變軌之所以選擇在遠地點實施，是為了抬高衛星近地點的軌道高度.同樣的道理，要抬高遠地點的高度就需要在近地點實施變軌.如圖2為“嫦娥二號”某次在近地點A由軌道1變軌為軌道2的示意圖，下列說法中正確的是

（）

A.“嫦娥二號”在軌道l的A點處應點火加速

B.“嫦娥二號”在軌道1的A點處的速度比在軌道2的A點處的速度大

C.“嫦娥二號”在軌道1的A點處的加速度比在軌道2的A點處的加速度大

D.“嫦娥二號”在軌道1的B點處的機械能比在軌道2的C點處的機械能大

例5 2012年6月16日，“神舟九號”宇宙飛船搭載3名航天員飛天，并于6月18日14： 00與“天宮一號”成功對接.在發射時，“神舟九號”宇宙飛船首先要發射到離地面很近的圓軌道，然后經過多次變軌后，最終與在距地面高度為h的圓形軌道上繞地球飛行的“天宮一號”完成對接，之后，整體保持在距地面高度仍為h的圓形軌道上繞地球繼續運行.已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g.求：

（1）地球的第一宇宙速度；

（2）“神舟九號”宇宙飛船在近地圓軌道運行的速度與對接后整體的運行速度之比.

五、雙星系統模型問題

1.雙星系統模型的特點：

（1）兩星都繞它們連線上的一點做勻速網周運動，故兩星的角速度、周期相等.

（2）兩星之間的萬有引力提供各自做勻速網周運動的向心力，所以它們的向心力大小相等；

（3）兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，即rl+ r2=L

2.雙星系統模型的三大規律：

（1）雙星系統的周期、角速度相同.

（2）軌道半徑之比與質量成反比.

（3）雙星系統的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質量有關，而與雙星個體的質量無關.

例6 如圖3所示，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在（）的兩側.引力常量為G.

（1）求兩星球做圓周運動的周期；

（2）在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1，但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質量分別為5. 98×10²⁴ kg和7.35×l0²² kg.求T2與T1兩者平方之比.（結果保留3位小數）

解析 （1）設兩個星球A和B做勻速網周運動的軌道半徑分別為r和R，相互作用的萬有引力大小為F，運行周期為T.根據萬有引力定律有：