萬有引力重點知識梳理和分析

顧國富

例1 1798年，英國物理學家卡文迪許測出萬有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質量的人.若已知萬有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個晝夜的時間T1（地球自轉周期），一年的時間T2（地球公轉周期），地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽中心的距離L2.你能計算出 （）

估算天體質量和密度時應注意的問題：

（1）利用萬有引力提供天體做網周運動的向心力估算天體質量時，估算的只是中心天體的質量，并非環繞天體的質量.

2.極地衛星、近地衛星和同步衛星

（1）極地衛星運行時每圈都經過南北兩極，由于地球白轉，極地衛星可以實現全球覆蓋.

（2）近地衛星是在地球表面附近環繞地球做勻速網周運動的衛星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s.

（3）同步通信衛星與地面保持相對靜止，同步通信衛星的軌道平面一定與地球的赤道平面重合，同步通信衛星的周期與地球白轉周期相同為24 h，為一定值，所以同步通信衛星的軌道半徑也是一個定值，離開地球表面的距離約為36 000 km.同步通信衛星的軌道半徑是一個定值，有關同步通信衛星運動學的量速率、角速度、向心加速度均為定值.

（4）各種衛星的軌道平面一定通過地球的球心.

例2 （2013.廣東）如圖1，甲、乙兩顆衛星以相同的軌道半徑分別繞質量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的運行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的線速度比乙的大

答案A

例4 2013年12月2日，我國探月探測器“嫦娥三號”在西昌衛星發射中心成功發射升空，此飛行軌道示意圖如圖2所示，地面發射后奔向月球，在P點從圓形軌道I進入橢圓軌道Ⅱ，Q為軌道Ⅱ上的近月點.下列關于“嫦娥三號”的運動，正確的說法是

（）

A.發射速度一定大于7.9 km/s

B.在軌道Ⅱ上從P到Q的過程中速率不斷增大

C.在軌道Ⅱ上經過P的速度小于在軌道I上經過P的速度

D.在軌道Ⅱ上經過P的加速度小于在軌道I上經過P的加速度

解析“嫦娥三號”探測器的發射速度一定大于7.9 km/s，A正確.在軌道Ⅱ上從P到Q的過程中速率不斷增大，選項B正確.“嫦娥三號”從軌道I上運動到軌道Ⅱ上要減速，故在軌道Ⅱ上經過P的速度小于在軌道I上經過P的速度，選項C正確.在軌道Ⅱ上經過P的加速度等于在軌道I上經過P的加速度，D錯.

答案 ABC

例5 如圖3所示，搭載著“嫦娥二號”衛星的長征三號丙運載火箭在西昌衛星發射中心點火發射，衛星由地面發射后，進入地月轉移軌道，經多次變軌最終進入距離月球表面100 km、周期為118 min的工作軌道，開始對月球進行探測，則

（）

A.衛星在軌道Ⅲ上的運動速度比月球的第一宇宙速度小

B.衛星在軌道Ⅲ上經過P點的速度比在軌道I上經過P點時的大

C.衛星在軌道Ⅲ上運行周期比在軌道I上短

D.衛星在軌道Ⅲ上的運行周期比在軌道I上長

解析 月球的第一宇宙速度是指環繞月球表面運行的月球衛星速度，軌道Ⅲ的半徑大于月球半徑，所以衛星在軌道Ⅲ上的運動速度比月球的第一宇宙速度小，A對.衛星在P點從軌道I變軌進入軌道Ⅲ上需要減速，所以衛星在軌道Ⅲ上經過P點的速度比在軌道I上經過P點時的小，B錯.由于軌道Ⅲ的半徑小于軌道I的半長軸，所以衛星在軌道Ⅲ上運行周期比在軌道I上短，C對D錯.

答案AC

2.第一宇宙速度是人造地球衛星在地面附近環繞地球做勻速網周運動時具有的速度.

3.第一宇宙速度是人造衛星的最大環繞速度，也是人造地球衛星的最小發射速度.

注意（1）兩種周期——白轉周期和公轉周期的不同.

（2）兩種速度——環繞速度與發射速度的不同，最大環繞速度等于最小發射速度.

（3）兩個半徑——天體半徑R和衛星軌道半徑r的不同.

（4）第二宇宙速度（脫離速度）：v2=11.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度.

（5）第三宇宙速度（逃逸速度）：V3=16.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度.

例6 “伽利略”木星探測器，從1989年10月進入太空起，歷經6年，行程37億千米，終于到達木星周圍.此后在t秒內繞木星運行Ⅳ圈后，對木星及其衛星進行考察，最后墜入木星大氣層燒毀.設這Ⅳ圈都是繞木星在同一個圓周上運行，其運行速率為v，探測器上的照相機正對木星拍攝整個木星時的視角為θ（如圖4所示），設木星為一球體.求：

（1）木星探測器在上述圓形軌道上運行時的軌道半徑：

（2）木星的第一宇宙速度.

例7 宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用相互繞轉，稱之為雙星系統.在浩瀚的銀河系中，多數恒星都是雙星系統.設某雙星系統A、B繞其連線上的（）點做勻速圓周運動，如圖6所示.若AO >OB，則

（）

A.星球A的質量一定大于星球B的質量

B.星球A的線速度一定大于星球B的線速度

C.雙星間距離一定，雙星的質量越大，其轉動周期越大

D.雙星的質量一定，雙星之間的距離越大，其轉動周期越大

答案BD

例8 宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用.設四星系統中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上.已知引力常量為G.關于四星系統，下列說法正確的是（）