圓柱與其展開圖

劉善娜（特級教師）

【教學時機】

人教版六年級下冊《圓柱的認識》學習之后，圓柱的表面積、體積學習之前。

【教學目標】

1.通過畫圓柱與其展開圖的草圖，使學生進一步掌握圓柱的特征。

2.通過圖形的“動態展開”，讓學生感受面與體的關聯，幫助其理解抽象的數據轉換。

【教學過程】

一、回顧特征

師：這兩天，我們認識了圓柱，誰來說說它們有什么特征？

（板書：兩個底面，一個側面，無數條高，直柱體）

【設計意圖：通過對圓柱外部特征的回顧，為學生畫草圖做好知識準備。】

二、嘗試畫圓柱

1.明了“草圖”。

師：同學們能試著在紙上畫一個圓柱的草圖嗎？

要求：數據不必準確，也不必用作圖工具，但是要讓大家能看出這是一個圓柱，要具備圓柱的基本特征。（板書：不必精確，但需具備基本特征）

【設計意圖：學生通過對作圖“要求”的解讀，加深對草圖的認識。】

2.學生嘗試作圖。

3.展示交流。

投影呈現圓柱草圖，指認底面、側面、底面周長、高、直徑，并標上字母d和h。

三、從“立體”到“平面”

1.嘗試畫展開圖。

師：這個圓柱（如上圖），如果沿著h將它的側面展開，會是什么形狀？（長方形）既然側面展開是長方形，決定它的大小的就是——長和寬。長和寬分別怎么畫？請你試一試，要求展開圖的大小盡可能符合要求。

【設計意圖：在實際學習過程中，我們經常發現學生能口答“側面的長就是底面周長，側面的寬就是圓柱的高”，但是在具體轉化應用時卻又一籌莫展。學生對立體與平面之間的轉化僅僅停留在動態展示的理解中，而沒有深入地去感受過轉化中的數據關系。讓學生畫大小盡可能符合數據要求的側面展開圖，是需要學生從關系的角度展開深度地思考，而不僅僅是簡單地畫一個長方形。】

2.展示匯報。

●展示一：大概估計，心里沒有估的標準。

師：看著他畫的圓柱與側面展開圖，你從展開圖的長和寬兩個維度去觀察，有什么想說的嗎？

追問1：他畫的寬度超過了圓柱的高，那我們在草圖上應該如何確定展開圖的寬呢？

追問2：長方形的長，自然比圓柱底面的直徑要長，但到底是多長？與圓柱底面的直徑之間有什么關系？為什么是π倍的關系？（展開圖的長，就是圓柱的底面周長）

●展示二：慮及π倍的草圖。

師：誰能看明白他這個草圖的畫法？這三個分割點代表什么意思？每一段代表什么意思？

【設計意圖：在這一展示過程中，從“大概估計”的作品切入，暴露不關切具體數據的問題，再展示關注了具體數據的作品，通過“你能看明白嗎？”達成互動交流，為改進作圖做好準備。】

3.再畫鞏固。

（1）實物動態，輔助理解。

結合側面展開圖的草圖，將一張A4紙卷成的圓柱側面展開，指認圓柱的底面周長和高分別變成了長方形的長和寬，理解草圖中的立體圖與平面圖之間的聯系。

（2）從直徑出發，畫一個側面展開圖。

根據草圖中圓柱的底面直徑長度，畫出側面展開圖的長，根據圓柱的高，畫出側面展開圖的寬。

（3）補充展開圖。

師：這是一個圓柱側面的展開圖，你能根據展開圖將圓柱的兩個底面添上去嗎？圓柱的底面的大小如何確定？

小結：從側面展開圖的長中，確定直徑的大概程度，就能畫底面的圓。

四、從“平面”到“立體”

1.學會確定圓柱的底面直徑和高。

師：如果現在有這樣一張長方形的紙，你能畫出它左右相卷，卷成圓柱體后的草圖嗎？如何確定圓柱的底面直徑和高？

小結：長方形的寬就是圓柱的高，而將長方形的長分成三份多余一點的形式，其中的一份就是圓柱底面直徑的長度。

2.學會畫長方形紙從兩種方向卷成圓柱的草圖。

師：請利用給你的兩個長方形草圖繼續來畫。

要求：（1）配上底面。不同方向卷起來的兩種底面。

（2）畫出對應的圓柱。

（3）同桌交流方法，集體小結。

【設計意圖：通過已知的長方形的平面圖形畫立體的圓柱草圖，進一步把握側面展開圖的長與圓柱底面直徑的關系，幫助學生建立相互轉化的連接。】

3.特殊的側面。

師：如果圓柱的側面展開圖是一個正方形，說明什么？

生：底面周長=高。

師：你能根據這個側面展開圖畫出圓柱嗎？

師：如果現在告訴你圓柱的側面展開是一個邊長為2cm的正方形，看誰畫的圓柱草圖最接近準確數據。（允許用尺子測量）

師：誰來說說你是如何讓自己的草圖接近準確數據的？

小結：側面展開圖的正方形邊長2cm→底面周長2cm→（分成三份多一點）底面直徑→高2cm。

【設計意圖：通過側面展開圖為正方形的特殊圓柱，讓學生畫接近準確數據的草圖，用數據估著畫，能使學生進一步把握正方形的邊長與圓柱的底面直徑、高的聯系。】

五、全課總結

師：這節課，畫了圓柱和它的展開圖，你有什么收獲？圓柱的大小和它的側面展開圖密切相關，有哪些具體的數據聯系？

小結：從圓柱草圖，畫出較為準確的側面展開圖，從側面展開圖，畫出較為準確的圓柱草圖，最重要的就是找到它們之間的聯系。

【教學建議】

本節課內容，重在幫助學生理解面、體轉化中內在數據的關聯。學生在后期解決問題中，經常遇到根據平面展開圖的數據無法計算立體圖形的表面積、體積，或者根據立體圖形的數據無法解決平面展開圖的相關問題。這份“畫數學”教學內容，讓學生通過畫草圖對其中的關系有了深度的理解。在實際教學中要關注兩個重點：

一、直觀感知要充分

在這節課畫草圖之前，要讓學生有充分的直觀感知。

1.認識圓柱時，可以給每位學生一張A4紙反復操作演示側面的“面曲成體”，讓學生指一指、說一說這張長方形的紙卷成圓柱后，它的長和寬分別變成了圓柱的什么。

2.認識圓柱后，可以讓每位學生動手制作完整的紙質圓柱（可以利用學具紙片），不僅直觀體驗“面曲成體”，而且在兩個底面貼合的過程中，感受到底面與側面的關聯。在學生制作完成后，要讓學生在“側面”和“底面”上分別指認“底面周長”，要抓住幾個重點問題：“底面周長”怎么在“側面”上也能找到？如果“側面”的大小確定了，對“底面”有什么影響？如果“底面”的大小確定了，對“側面”有什么影響？

有了這些感知，課堂上學生就能更順利地在體到面、面到體中穿行往復，能更好地掌握較為準確地達成平面、立體互相轉化的技巧，并理解其中的道理。

二、后續作業要跟進

這節課的畫圖內容變化較多，過程也較為復雜，建議作業跟進。如布置“一個圓柱的側面展開是一個邊長為5cm的正方形，請畫出圓柱的草圖，盡可能接近準確數據。（允許用尺子測量）”。也可以設計成“側面展開是一個長8cm、寬6cm的長方形”，使答案多樣化。