讓數(shù)學(xué)思考向深處漫溯
——《認(rèn)識(shí)底和高》教學(xué)

蔡萍芬

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版五年級(jí)上冊(cè)第51頁(yè)。

【教學(xué)過程】

一、鏈接生活，設(shè)疑激惑中漸入數(shù)學(xué)之思

1.課前比身高。

師：生活中比過身高嗎？小明和小軍也在比身高，（如下圖1）你認(rèn)為誰高？

生：我認(rèn)為小明高。

生：我認(rèn)為小軍高。

生：我認(rèn)為很難說誰高，看不見下面，也許有人站在椅子上。

師：分析的很有道理，真相是什么？請(qǐng)看（去掉遮板，如圖2）這樣比行嗎？要怎樣比？

生：這樣比不行。要從椅子上下來，兩人站在同一地平面上。

師：現(xiàn)在兩人站在一個(gè)斜坡上，也是一個(gè)平面上。這樣比身高可以嗎？（如下圖3）為什么？

生：不行，因?yàn)樾≤姳刃∶鞫嗔艘粋€(gè)小坡的高度。

（課件抽象成線，如下圖4）

師：要比出身高，我們就要把坡的高度降下來。你發(fā)現(xiàn)什么？

（幾何畫板演示：斜線下降的過程，身高與地面的夾角由銳角慢慢變成直角，如圖5、圖6）

生：發(fā)現(xiàn)人與地面的夾角慢慢變成直角，也就是互相垂直。

師：這時(shí)能比出身高了嗎？比身高時(shí)，不僅要站在同一平面上，而且人與這個(gè)平面要互相垂直。（課件閃爍垂直的記號(hào)，如圖7）

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

【思考：比身高是學(xué)生熟悉的生活情境，在同水平線上、垂直站立比高是學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，也是“認(rèn)識(shí)底和高”的知識(shí)基礎(chǔ)。為激發(fā)學(xué)生的深度思考，創(chuàng)設(shè)了站斜坡上比身高的沖突情境，以“為什么這樣比不行？”之問，啟迪學(xué)生剝離生活情境的外衣，在線段與線段的比較中發(fā)現(xiàn)起點(diǎn)不同，存在著斜坡高度的差距。為解決這一沖突，借助幾何直觀課件的動(dòng)態(tài)演示讓學(xué)生直觀感知在下降坡度的過程中，人與水平面之間夾角的變化。此時(shí)，比身高時(shí)與水平面互相垂直的先決條件凸顯出來，為什么要垂直的感悟?qū)W生得以意會(huì)。】

2.初識(shí)底和高。

師：請(qǐng)同學(xué)們看老師這里的圖片：日本折紙建筑高達(dá)5米，橋洞限高4.5米。

師：建筑高達(dá)5米的意思？

生：就是指建筑的最高點(diǎn)到地面的距離。

師：是這樣嗎？（教師傾斜比劃）

生：不對(duì)，應(yīng)該是最高點(diǎn)與地面的垂直線段。

師：橋洞限高4.5米是什么意思？

生：從橋的頂部到地面高度。

（結(jié)合學(xué)生的描述，課件閃爍出現(xiàn)一組平行線）

師：4.5米是從這到這嗎？（斜著比劃）

生：不行，必須與地面垂直。

師：也就是這一組平行線間的垂直線段。

【思考：由人體的身高到建筑物的高，進(jìn)而抽象到幾何圖形的高，是本課教學(xué)的一個(gè)邏輯線索。在學(xué)生熟悉的生活情境中尋找思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生逐漸趨向?qū)?shù)學(xué)本質(zhì)的思考。房屋或是橋洞的高度，都是學(xué)生有直觀感知經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知。但是，這種認(rèn)知是模糊與淺層的，教學(xué)的目的是使其顯性化與明晰化。課例中，通過“高5米，限高4.5米是什么意思？”啟發(fā)思考，并讓學(xué)生動(dòng)手比劃比劃，師生在共同討論交流中，把隱性的認(rèn)知用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)表達(dá)出來，從而進(jìn)入“高是最高點(diǎn)到地面或是一組平行線間垂直線段”的本質(zhì)思考。】

二、操作探究，對(duì)比辨析中觸摸數(shù)學(xué)本原

1.試畫平面圖形的高。

師：如果把橋洞的形狀看成是梯形（課件抽象出梯形），如何畫出高呢？

師：他們畫的對(duì)嗎？為什么？

生：對(duì)，他們畫的都是垂直的線段。

師：梯形的高本質(zhì)上就是平行線間垂直的線段。

生：老師我認(rèn)為第二幅圖不對(duì)，看不出是這個(gè)梯形的一組平行線。高的長(zhǎng)度是有限的。

師：有道理，我們把多余的部分擦掉。這些高可以用什么工具來驗(yàn)證？（三角板）現(xiàn)在，三條不同位置的高都符合垂直的要求。

師：我們把這組與高互相垂直的線段叫做底，習(xí)慣把上面這條叫上底，下面這條叫下底。注意：我們一般用虛線畫高，寫上高，并在與指定底垂直的地方標(biāo)上垂直的記號(hào)。

師：這組平行線間可以畫多少條高？長(zhǎng)度呢？平時(shí)我們只要一條做代表。

生：可以畫無數(shù)條高，長(zhǎng)度都一樣。

師：接下來，你們能用研究梯形高的方法來研究平行四邊形、三角形的高嗎？

（學(xué)生動(dòng)手嘗試、反饋交流）

反饋：實(shí)物投影展示學(xué)生的答案，并結(jié)合學(xué)生的回答，動(dòng)態(tài)演示畫不同底上高的正確方法。揭示平行四邊形可以畫無數(shù)條高，三角形只能畫三條高。

【思考：學(xué)生對(duì)底和高有直觀認(rèn)識(shí)之后，推進(jìn)數(shù)學(xué)思考需在學(xué)生畫一畫的活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)。給足學(xué)生自主嘗試的空間，充分利用錯(cuò)誤的資源是把思考向縱深處推進(jìn)的有效手段。兩個(gè)層次的嘗試，學(xué)生聚焦的思考點(diǎn)不同。梯形的高在對(duì)與錯(cuò)的對(duì)比中，明確高的正確畫法；平行四邊形與三角形的高，在辨析中拓展學(xué)生的思維定勢(shì)，明確高并不局限于常規(guī)方向，所以梯形中可以畫出一種高、平行四邊形有兩種、三角形有三種。這一操作過程的經(jīng)歷，并不停于學(xué)生技能的強(qiáng)化，而是以概念的深化理解為基石，促進(jìn)學(xué)生深層次數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)意義理解中技能內(nèi)化。】

2.揭示知識(shí)本質(zhì)。

師：仔細(xì)觀察三種圖形高的畫法，它們有什么共同的地方？

生：都是與底垂直的垂線段。

師：有什么不同的地方？

生：梯形、平行四邊形的高都在一組平行線間，它們有無數(shù)條。

生：三角形的高是從頂點(diǎn)到底邊，所以它只有三條高。

師：如果以平行四邊形的這條邊為底，有無數(shù)條高，上邊的底逐漸縮小就成了梯形，在底邊上能畫無數(shù)條高，如果上底繼續(xù)縮短成一點(diǎn)，圖形就是三角形，這條底上就只能畫一條高。

【思考：知識(shí)本質(zhì)的感悟需要學(xué)生在變式的材料中把握不變的規(guī)律。平面圖形的底與高具有哪些共性與個(gè)性的地方，是建構(gòu)知識(shí)必要的追問。學(xué)生將會(huì)關(guān)注不同圖形的底和高本質(zhì)上是互相垂直的線段，這是共性。由于個(gè)性圖形的特征不同，梯形、平行四邊形是平行線間的垂直線段，可以畫無數(shù)條；三角形是點(diǎn)到底邊的垂直線段，只能畫三條。學(xué)生在一個(gè)整體的環(huán)境中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的感悟，這樣的聯(lián)結(jié)是牢固與靈動(dòng)的。而后續(xù)課件動(dòng)態(tài)演示，更是打通各種平面圖形底和高知識(shí)的關(guān)系，學(xué)生在“變與不變”視覺沖突中進(jìn)一步深化本質(zhì)的認(rèn)知，這樣的數(shù)學(xué)思考是高效的。】

三、變式練習(xí)，靈動(dòng)想象中感悟數(shù)學(xué)思想

給定底的位置，請(qǐng)?jiān)诜礁窦埳袭嫵鲋付ǖ膱D形：底是3cm、高是2cm的三角形；底是4cm、高是3cm的平行四邊形。

（學(xué)生嘗試練習(xí)，選取三張形狀不一樣的圖形進(jìn)行反饋）

師：這三個(gè)三角形，都符合作圖要求，為什么形狀會(huì)不同？

師：三角形的頂點(diǎn)在哪呢？頂點(diǎn)有什么特點(diǎn)？

生：頂點(diǎn)在一條直線上。

師：這條直線與底互相平行，之間的距離都是2厘米，三角形的頂點(diǎn)還能在哪兒？想象遠(yuǎn)處點(diǎn)形成的三角形，這樣的三角形能想象出多少個(gè)？

生：在等底等高的情況下，有無數(shù)個(gè)形狀多樣的三角形。

師：可以怎么畫？

（反饋時(shí)，結(jié)合學(xué)生的描述，課件動(dòng)態(tài)出現(xiàn)畫圖的過程）

師：同學(xué)們，今天學(xué)習(xí)的底和高，本質(zhì)上是互相垂直的線段。在剛才的圖形變化中，什么是變化的？（形狀）什么是不變的？（底和高），而“守住變化中的不變，就是規(guī)律”。