有效教學(xué)的實(shí)踐與探索

秦佳敏

[摘 要]要讓學(xué)生掌握用軸對(duì)稱變換的方法，解決“兩點(diǎn)之間線段最短”路徑問(wèn)題，教師要題目分析到位，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化明確，從而讓學(xué)生把握住重點(diǎn)，明確好方向.教師還要做好引導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)結(jié)論.

[關(guān)鍵詞]有效教學(xué)；最短路徑；軸對(duì)稱；探索

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）29-0019-02

“兩點(diǎn)之間線段最短”是課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書人教版初一上冊(cè)的內(nèi)容.教材通過(guò)生活實(shí)例解釋，比如說(shuō)用相同速度從學(xué)校到家，走什么路線最快到家？最短的距離當(dāng)然是走直線，可以測(cè)量距離.而如何使用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是到了初二的時(shí)候?qū)W生才有所接觸，那就是“最短路徑問(wèn)題”.“最短路徑問(wèn)題”看似困難，而當(dāng)學(xué)生想清楚了解決起來(lái)就比較簡(jiǎn)單.教師要把這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題提得到位、講透徹卻并不容易.學(xué)生會(huì)有一系列問(wèn)題，如怎么去看圖？哪里才有直線？怎樣構(gòu)成線段？怎么尋找對(duì)稱軸、對(duì)稱點(diǎn)？下面我們就來(lái)看看廣西師大附中張知瑩老師如何解決問(wèn)題.

一、教學(xué)過(guò)程

1.提出問(wèn)題，轉(zhuǎn)化思想

廣西師大附中張知瑩老師從中考考題出發(fā)，講解初二上冊(cè)書本13.4課題學(xué)習(xí)中的最短路徑問(wèn)題.

問(wèn)題1：牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊L飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

如果把河邊L近似地看成一條直線，如圖1，P為直線L上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么，上面的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為“當(dāng)點(diǎn)P在L的什么位置時(shí)，AP與PB的和最小”.解決這類題型的方法是運(yùn)用軸對(duì)稱變換，把同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)變成異側(cè)，如圖2，將點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′與點(diǎn)B相連，構(gòu)成“兩點(diǎn)之間線段最短”，引出今天的知識(shí)點(diǎn).

2.延伸練習(xí)，鞏固結(jié)論

課程中教師讓學(xué)生解釋了A′B為何是最短距離之后給出了變式練習(xí)，再結(jié)合三角形、四邊形、坐標(biāo)系等學(xué)習(xí)內(nèi)容，把圖形轉(zhuǎn)變成“點(diǎn)變線不變”的練習(xí)題，讓學(xué)生加深印象，再在四邊形的基礎(chǔ)上將背景圖形不斷變換，把四邊形的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合在一起加強(qiáng)鞏固，最后“點(diǎn)不變?cè)黾泳€”，升華內(nèi)容變成兩個(gè)點(diǎn)和兩條對(duì)稱軸的情況，如圖3和圖4，期望能夠通過(guò)不斷地強(qiáng)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”的思想達(dá)到訓(xùn)練的目的.

二、課堂評(píng)價(jià)

第一，教師對(duì)教材的整合比較到位.由易到難，層層深入，同時(shí)歸納了整個(gè)初中階段可能會(huì)遇到的有關(guān)距離最短的問(wèn)題，將材料很好地展現(xiàn)到了學(xué)生面前.如上題中，先從基本圖形入手，讓學(xué)生有一個(gè)較為系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，再讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用加以拓展.但是由于學(xué)生知識(shí)的積累還不夠，網(wǎng)絡(luò)雖然已經(jīng)搭建起來(lái)，學(xué)生能夠往里面填的材料卻不足，不知道要如何去找對(duì)應(yīng)的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸.

第二，教師對(duì)學(xué)生的關(guān)注和引導(dǎo)比較到位.學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有疑問(wèn)，不知道是如何作關(guān)于直線L的對(duì)稱，找到一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，教師及時(shí)對(duì)學(xué)生的這種理解做了相應(yīng)的改變，加入了推導(dǎo)過(guò)程和解釋的過(guò)程，并且很好地解釋了為什么這條直線是最短的，如圖5所示.

第三，教師注重學(xué)生思維培養(yǎng).這是本節(jié)課的一大優(yōu)點(diǎn)，教師問(wèn)到關(guān)鍵的點(diǎn)：你為什么會(huì)想到這樣做？讓學(xué)生的思維得到很好的拓展和延伸.比如學(xué)生在做出相應(yīng)的習(xí)題后，教師抓住時(shí)機(jī)問(wèn)他們是如何想的，把學(xué)生的思維方式總結(jié)歸納出來(lái)，使得大部分學(xué)生有了數(shù)感，以后遇到這樣的題目就知道這樣去想了.

三、探索實(shí)踐

在聽完課后，我做了大膽的嘗試，用了連續(xù)兩節(jié)課的時(shí)間，在自己的班上把課程再上一遍.

1.提出問(wèn)題，總結(jié)歸納

對(duì)于“點(diǎn)A、B位于直線L一側(cè)，在L上找到一點(diǎn)P使得AP+BP最短.”我會(huì)歸納出幾個(gè)核心問(wèn)題提問(wèn)學(xué)生：“對(duì)稱的點(diǎn)是哪個(gè)？對(duì)稱軸是哪條？所用的思想方法是什么？”總結(jié)歸納，讓學(xué)生從一道題中得出自己的思維方法，從而舉一反三.

2.同類問(wèn)題，舉一反三

根據(jù)例題的結(jié)論，學(xué)生會(huì)有意識(shí)地去尋找對(duì)稱的點(diǎn)和對(duì)稱軸.如果出現(xiàn)圖像變換的時(shí)候，他們也可以答題.如練習(xí)：如圖6所示，正方形[ABCD]的面積為12，[△ABE]是等邊三角形，點(diǎn)[E]在正方形[ABCD]內(nèi)，在對(duì)角線[AC]上有一點(diǎn)[P]，使[PD+PE]的和最小，則這個(gè)最小值為 .

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D、E是對(duì)稱點(diǎn)，而對(duì)稱軸是AC.在比較兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)D和E后，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D更容易找到對(duì)稱點(diǎn)B，這樣將問(wèn)題中的[PD+PE]轉(zhuǎn)化成了求BE的長(zhǎng)度，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

學(xué)生明白了要找的目標(biāo)后，題目就會(huì)變得簡(jiǎn)單，學(xué)生在背景圖形不斷變換的情況下，較好地掌握了解題的思想和方法.

3.衍生方法，討論結(jié)果

題目出現(xiàn)兩條對(duì)稱軸.例題：如圖3，已知牧馬營(yíng)地在A處，放馬到草地吃草后，再到河邊L處喝水后回到點(diǎn)B處，牧馬人到草地和河邊的什么位置放馬，才能使所走的路徑最短？

學(xué)生剛開始聽到題目時(shí)有點(diǎn)懵，但當(dāng)我問(wèn)道：“這是不是我們之前的‘兩點(diǎn)之間，線段最短”的問(wèn)題時(shí)，大家還是能夠很肯定的回答.接著我又問(wèn)：“那么如何才能出現(xiàn)‘兩點(diǎn)，使得線段最短呢？”學(xué)生很快想到一定還是使用對(duì)稱這樣的方式來(lái)解決，嘗試去將兩個(gè)點(diǎn)分別對(duì)稱.最后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)作對(duì)稱就能夠達(dá)到最短的要求.但同時(shí)遇到一個(gè)爭(zhēng)議比較大的問(wèn)題：是不是可以作兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于任意一條對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)呢？學(xué)生通過(guò)討論，發(fā)現(xiàn)四種情況：1.關(guān)于草地作對(duì)稱；2.關(guān)于河邊L 作對(duì)稱；3.點(diǎn)A、B分別關(guān)于河邊L、草地作對(duì)稱；4.點(diǎn)A、B分別關(guān)于草地、河邊L作對(duì)稱.

學(xué)生的答案五花八門，結(jié)果產(chǎn)生矛盾，問(wèn)題發(fā)生爭(zhēng)執(zhí)，到底哪一個(gè)才是正確的呢？大家討論可以發(fā)現(xiàn)，圖7和圖8的畫法只能完成牧草或者是喝水一件事，都不符合題意.圖9很多學(xué)生有了爭(zhēng)議，通過(guò)討論學(xué)生發(fā)現(xiàn)A-C-D-B這條路線，只是做了所謂的對(duì)稱，并沒(méi)有體現(xiàn)出“兩點(diǎn)之間線段最短”.怎么體現(xiàn)“兩點(diǎn)之間線段最短”有沒(méi)有具體的實(shí)例驗(yàn)證？只有圖10能給出正確答案.總結(jié)大家的結(jié)論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣的對(duì)稱并不是任意的，而是對(duì)稱點(diǎn)距離哪條對(duì)稱軸近，就作關(guān)于這條對(duì)稱軸的對(duì)稱.

4.追加問(wèn)題，提升思維難度

借助學(xué)生討論出正確答案的那股勁，我追加問(wèn)題：如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？

通過(guò)本節(jié)課的嘗試，我發(fā)現(xiàn)問(wèn)題式教學(xué)可以改變教師“以講為主，以講居先”的格局.好的問(wèn)題還可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，更加注重學(xué)生參與課堂的能力和探索的能力.學(xué)生從討論中自我尋找正確的思維方式，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).這樣的課堂目標(biāo)明確，學(xué)生真正參與到課堂來(lái).學(xué)生對(duì)自己討論的題目更有興趣，并能夠不斷地質(zhì)疑.讓學(xué)生學(xué)會(huì)探索，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，我想這才是我們教育的本質(zhì).

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 課程教材研究所·義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2] 課程教材研究所.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（教師教學(xué)用書）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[3] 何偉方.最短路徑問(wèn)題：“兩點(diǎn)之間線段最短”的應(yīng)用[J].學(xué)苑教育，2013（21）：52-53.

[4] 陶衛(wèi)東.探究“最短路徑”問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教育通訊（初等教育），2013（9）：62-64.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）