讓思維向縱深處伸展
——“長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算公式”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

江蘇南京市瑯琊路小學(xué)威尼斯水城分校（210000）

【教學(xué)內(nèi)容】蘇教版教材六年級(jí)（上冊(cè)）第16～17頁(yè)，例9和例10，“試一試”和“練一練”，練習(xí)四第1～3題

【教學(xué)目標(biāo)】

1.讓學(xué)生在操作、觀察、猜想、驗(yàn)證、交流和歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，探索并掌握長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算公式，能應(yīng)用公式正確計(jì)算長(zhǎng)方體和正方體的體積，并解決相應(yīng)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

2.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，進(jìn)一步積累探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)思維水平，培養(yǎng)探索精神和實(shí)踐能力，形成積極的情感態(tài)度。

【教學(xué)過(guò)程】

一、開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，提出問(wèn)題

師：上節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了體積和體積單位，今天這節(jié)課接著來(lái)研究長(zhǎng)方體和正方體的體積。看到這個(gè)課題，你認(rèn)為長(zhǎng)方體和正方體的體積跟什么有關(guān)？

師：今天老師帶來(lái)棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，你知道它的體積是多少嗎？今天這節(jié)課就借用這個(gè)1立方厘米的小正方體來(lái)研究長(zhǎng)方體和正方體的體積。

【評(píng)析：?jiǎn)栴}是思維的起點(diǎn)，是探索的動(dòng)力。讓學(xué)生大膽猜測(cè)“長(zhǎng)方體和正方體的體積跟什么有關(guān)”，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，又激發(fā)了學(xué)生的好奇心，吸引了學(xué)生的注意力，教會(huì)學(xué)生如何提出問(wèn)題，如何思考。】

二、猜想驗(yàn)證，探究問(wèn)題

1.探究長(zhǎng)方體體積公式

[活動(dòng)一]

活動(dòng)要求：用若干個(gè)1立方厘米的小正方體擺出不同的長(zhǎng)方體，然后把相應(yīng)的數(shù)據(jù)填寫(xiě)在表格里。

___________長(zhǎng)/cm__寬/cm__高/cm__正方體個(gè)數(shù) 體積/cm3_長(zhǎng)方體________________________________________________①_長(zhǎng)方體②_長(zhǎng)方體③_長(zhǎng)方體_________________________________________________④

小組交流：這些長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少？用了幾個(gè)小正方體？怎樣很快能知道用的小正方體的個(gè)數(shù)？長(zhǎng)方體的體積是多少？

全班交流:擺出的長(zhǎng)方體的體積與小正方體的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生明確小正方體的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方體體積的立方厘米數(shù)；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)量越大，所用的1立方厘米正方體的個(gè)數(shù)就越多，長(zhǎng)方體的體積也就越大）

師：長(zhǎng)方體的體積與它的長(zhǎng)、寬、高有什么關(guān)系？我們剛才只求出4個(gè)長(zhǎng)方體的體積，所有長(zhǎng)方體的體積都等于長(zhǎng)×寬×高嗎？

師（出示例10的第一個(gè)長(zhǎng)方體）：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是4×1×1嗎？為什么有的同學(xué)不確定了？看來(lái)關(guān)于長(zhǎng)方體的體積還要進(jìn)一步驗(yàn)證。

[活動(dòng)二]

活動(dòng)要求：

（1）用1立方厘米的小正方體擺出下面的長(zhǎng)方體（如下圖），先想一想各需要多少個(gè)小正方體，再擺一擺。

（2）填寫(xiě)表格（略），說(shuō)說(shuō)每個(gè)長(zhǎng)方體各用了幾個(gè)小正方體，它們的體積分別是多少立方厘米。

全班交流：①長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是多少？體積分別是多少立方厘米？這個(gè)結(jié)果與我們剛才的猜想是否一致？②擺出的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是幾？長(zhǎng)的數(shù)量表示什么（第一層擺幾個(gè)）？擺出的長(zhǎng)方體的寬是幾（擺幾行）？寬的數(shù)量表示什么？長(zhǎng)與寬的乘積計(jì)算的是什么？擺出的長(zhǎng)方體的高是幾？高表示什么(擺幾層)？長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是多少？

師：無(wú)論是你們擺的長(zhǎng)方體，還是老師給出的長(zhǎng)方體，你們覺(jué)得長(zhǎng)方體的體積跟什么有關(guān)？“長(zhǎng)×寬”算的是什么（一層有幾個(gè)體積單位）？再乘高呢？（幾層一共有多少個(gè)體積單位）

（學(xué)生自學(xué)課本16頁(yè)長(zhǎng)方體體積公式，交流匯報(bào)：V=abh）

【評(píng)析：當(dāng)學(xué)生利用學(xué)具動(dòng)手操作、猜想、驗(yàn)證、交流，得出無(wú)論自己擺出的長(zhǎng)方體還是老師給出的長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生互動(dòng)，理清公式的意義：“先求一層有幾個(gè)，再乘層數(shù)，得到小正方體的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方體的體積數(shù)。”這樣，讓學(xué)生帶著問(wèn)題猜想，放手讓他們充分探究、驗(yàn)證猜想，在不斷的思維碰撞中初步解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。】

2.推導(dǎo)正方體體積公式

師：正方體是特殊的長(zhǎng)方體，你能根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)出正方體的體積公式嗎？

生1：因?yàn)檎襟w是特殊的長(zhǎng)方體，正方體具有長(zhǎng)方體所有的特征，是長(zhǎng)、寬、高相等的正方體，而長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高，所以正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。

生2：如果用剛才測(cè)量長(zhǎng)方體的小正方體去測(cè)量正方體的體積，每行擺的個(gè)數(shù)、擺的行數(shù)、擺的層數(shù)都相等，也就是都與正方體的棱長(zhǎng)相等，所以正方體的體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。

師：請(qǐng)讀一讀課本第17頁(yè)，說(shuō)說(shuō)正方體體積的字母公式，明確a3的含義、讀寫(xiě)方法。（出示練習(xí)教材第17頁(yè)“練一練”第2題。計(jì)算：33；53；13；103；0.13）

3.歸納提升

師：討論長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算方法是否相同。

【評(píng)析：當(dāng)學(xué)生已經(jīng)得出長(zhǎng)方體和正方體的體積公式之后，教師通過(guò)讓學(xué)生比較兩個(gè)立體圖形的公式，把學(xué)生的思維引向深處，得出“長(zhǎng)方體和正方體體積計(jì)算實(shí)質(zhì)是一樣的”，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。】

三、實(shí)際應(yīng)用，發(fā)展提升

1.教材第17頁(yè)“試一試”。

2.教材第17頁(yè)“練一練”第1題。

3.教材第20頁(yè)練習(xí)四第1～3題。

【教學(xué)思考】

“長(zhǎng)方體、正方體的體積計(jì)算公式”是在學(xué)生已經(jīng)掌握長(zhǎng)方體和正方體的特征，了解體積的意義并認(rèn)識(shí)體積單位的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也是立體圖形體積計(jì)算的第一節(jié)課。因此，教師在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，不能只定位在讓學(xué)生記憶并套用公式計(jì)算上，而應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)體積意義和體積單位的理解，并在此基礎(chǔ)上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和實(shí)踐能力。

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并能使他們逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”教師不僅要關(guān)注學(xué)生應(yīng)該學(xué)到什么，還要重視他們是怎樣學(xué)到的，也就是說(shuō)，要展現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維解決問(wèn)題。

1.動(dòng)手操作，啟迪思維

體積對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)新概念，由平面圖形到立體圖形，是學(xué)生空間觀念的一次重大跨越。教師應(yīng)注意加強(qiáng)學(xué)具的演示和學(xué)生的動(dòng)手操作活動(dòng)，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，加深學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體計(jì)算公式的理解。在探索長(zhǎng)方體體積公式的過(guò)程中，教師安排了兩次操作活動(dòng)，第一次是沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，學(xué)生任意擺出不同的長(zhǎng)方體，；第二次是規(guī)定了長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，學(xué)生根據(jù)教師給的圖形擺出長(zhǎng)方體。兩次操作活動(dòng)，層次不同，學(xué)生獲得的體驗(yàn)也不同。第一次的操作，讓學(xué)生初步體會(huì)到長(zhǎng)方體的體積與長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，第二次的操作，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到“擺出的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)的數(shù)量與沿著長(zhǎng)擺的體積單位個(gè)數(shù)有關(guān)；擺出的長(zhǎng)方體的寬的數(shù)量就是沿著寬應(yīng)該擺出的體積單位；擺出的長(zhǎng)方體的高的數(shù)量就是擺的體積單位的層數(shù)”。動(dòng)手操作，使學(xué)生對(duì)體積的理解更加清晰、明確，啟發(fā)了學(xué)生的思維，為推導(dǎo)體積公式打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.問(wèn)題引領(lǐng)，活躍思維

數(shù)學(xué)課堂的核心是思維，而設(shè)置問(wèn)題是讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)有效思維的方法，正確引導(dǎo)學(xué)生基于問(wèn)題有效、高效地思維，能不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從而使學(xué)生獲得可持續(xù)發(fā)展的能力。課始，教師在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)“你認(rèn)為長(zhǎng)方體的體積跟什么有關(guān)？”；在學(xué)生有一定操作的基礎(chǔ)上又一次引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)“長(zhǎng)方體的體積與它的長(zhǎng)、寬、高有什么關(guān)系？”；接著又問(wèn)“是不是所有長(zhǎng)方體的體積都是長(zhǎng)×寬×高？”。這樣有步驟地引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地思考問(wèn)題，學(xué)生的思維在教師一次次精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題中更加活躍，對(duì)長(zhǎng)方體和正方體的體積理解得更加深入。

3.反思過(guò)程，提升思維

對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，不僅可以檢查和評(píng)價(jià)自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解是否正確，而且可以進(jìn)一步了解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)是哪些原有知識(shí)的擴(kuò)充與發(fā)展，從而提高理解和掌握知識(shí)的水平。如，在兩次操作活動(dòng)后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思操作過(guò)程，以體積與長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系推導(dǎo)并理解長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式；再如，在學(xué)習(xí)正方體的體積公式時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“正方體是特殊的長(zhǎng)方體，你能根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式推導(dǎo)出正方體的體積公式嗎？”學(xué)生就能反思長(zhǎng)方體公式的推導(dǎo)過(guò)程，逐漸構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知。

費(fèi)賴登塔爾說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)。”學(xué)生思維的發(fā)展需要建立在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，教師要激活學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生開(kāi)展數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在動(dòng)力，給學(xué)生充分展示數(shù)學(xué)思維的機(jī)會(huì)，通過(guò)對(duì)話、提問(wèn)等方式促進(jìn)學(xué)生思維水平的逐步提升，給予學(xué)生努力前行的動(dòng)力與勇氣。