沒(méi)有想象空間的操作活動(dòng)是不完美的
——“認(rèn)識(shí)公因數(shù)和最大公因數(shù)”的同課異構(gòu)

江蘇泰州市智堡實(shí)驗(yàn)學(xué)校（225300）

在一次市級(jí)數(shù)學(xué)教研活動(dòng)中，兩位教師對(duì)同一課題“認(rèn)識(shí)公因數(shù)和最大公因數(shù)”進(jìn)行了同課異構(gòu)教學(xué)。在介紹“公因數(shù)”概念時(shí)，兩位教師都別具匠心，精心組織了操作活動(dòng)——用“小正方形密鋪長(zhǎng)方形”，從而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“正方形邊長(zhǎng)必須同時(shí)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的因數(shù)才能完美密鋪”，進(jìn)而正式給公因數(shù)下定義，但是不同的活動(dòng)安排帶來(lái)了不同的教學(xué)效果。

【A教師教學(xué)片段】

師：音樂(lè)室地板是一個(gè)長(zhǎng)30dm、寬20dm的矩形，由于地磚老化，現(xiàn)在要進(jìn)行重裝，有邊長(zhǎng)4dm和5dm兩種規(guī)格的正方形瓷磚備選，請(qǐng)問(wèn)哪種正方形瓷磚合適？

生（齊）：選用邊長(zhǎng)5dm的，因?yàn)?同時(shí)可以整除20和30。

師：請(qǐng)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，模擬鋪一鋪。

（學(xué)生動(dòng)手操作，在用邊長(zhǎng)4dm的方磚密鋪時(shí)感到為難；教師組織學(xué)生交流，討論沿長(zhǎng)排列幾塊，沿寬排列幾塊）

展示學(xué)生作品：

師:為什么邊長(zhǎng)5dm的方磚能正好密鋪，而邊長(zhǎng)4dm的方磚則不行？

生1：主要是30dm那條邊不能被完美分割。換言之，4不能整除30，而5既可以整除20又可以整除30。

師：除了邊長(zhǎng)5dm的方磚，還有哪種規(guī)格的方磚也可以密鋪？畫(huà)一畫(huà)，填一填。

一共鋪設(shè)幾塊600 150 6方磚規(guī)格1dm 2dm 10dm沿長(zhǎng)鋪幾塊30 15 3沿寬鋪幾塊20 10 2

師：為何邊長(zhǎng)1dm、2dm、10dm的方磚也可以做到密鋪？

生2：1、2、10和5一樣，既是20的因數(shù)又是30的因數(shù)，是20和30的公因數(shù)。

（教師由此揭示“公因數(shù)”的概念）

【B教師教學(xué)片段】

師：分別用邊長(zhǎng)9cm和4cm的正方形紙片密鋪一個(gè)長(zhǎng)18cm、寬12cm的長(zhǎng)方形，觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

展示學(xué)生作品：

師：為什么不可以密鋪？

生1：邊的長(zhǎng)度要是9或者4的倍數(shù)才可以。

師：請(qǐng)用數(shù)據(jù)說(shuō)話(huà)。

生2：9是18的因數(shù)，但不是12的因數(shù)；4是12的因數(shù)而非18的因數(shù)。

師：密鋪對(duì)邊長(zhǎng)有著嚴(yán)格的要求。

師：什么樣的條件才能做到密鋪？

生3：小正方形的邊長(zhǎng)要同時(shí)是18和12的因數(shù)，可以是1cm、2cm、3cm、6cm。

師：先拿邊長(zhǎng)6cm的正方形紙片做實(shí)驗(yàn)。

出示圖：

生4：6是12和18的公約數(shù)。

（教師用其他數(shù)據(jù)分別做實(shí)驗(yàn)，訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范地表達(dá)“幾是12和18的公約數(shù)，所以可以完美密鋪”的句式）

兩位教師的教學(xué)都經(jīng)歷了“操作—驗(yàn)證—思考—交流”的程序，也體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想——借助長(zhǎng)和寬同時(shí)完美分割密鋪來(lái)導(dǎo)入“公因數(shù)”的概念。現(xiàn)對(duì)兩位教師的處理方法進(jìn)行逐一分析。

一、操作簡(jiǎn)約化，概念更深刻

A教師組織的密鋪活動(dòng)“用邊長(zhǎng)4dm和邊長(zhǎng)5dm的方磚密鋪長(zhǎng)30dm、寬20dm的音樂(lè)室地板”，共計(jì)需要用到方磚35或24塊，長(zhǎng)度差距太大，操作耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)。同時(shí)，操作要求是“全覆蓋”，更加浪費(fèi)時(shí)間。后續(xù)提問(wèn)“沿長(zhǎng)排列幾塊，沿寬排列幾塊？”也或多或少地對(duì)公因數(shù)概念的提出產(chǎn)生阻撓作用。學(xué)生初步形成“公因數(shù)”的概念雛形后的第二次操作活動(dòng)“還有哪些規(guī)格的方磚可以密鋪？畫(huà)一畫(huà)，填一填。”中，由于邊長(zhǎng)1dm和邊長(zhǎng)2dm的方磚全覆蓋時(shí)數(shù)量太多，學(xué)生糾結(jié)于塊數(shù)，而淡化了邊長(zhǎng)，削弱了“公因數(shù)”概念的準(zhǔn)確性。

B教師組織的活動(dòng)是“分別用邊長(zhǎng)9cm和4cm的正方形紙片密鋪長(zhǎng)18cm、寬12cm的矩形”，邊長(zhǎng)9cm的方片只需2塊，邊長(zhǎng)4cm的方片只需12塊。數(shù)量少，效率高。在鋪的過(guò)程中，學(xué)生能直觀地感知到“9”可以鋪滿(mǎn)“長(zhǎng)度18”而不能鋪滿(mǎn)“寬度12”；“4”不能鋪滿(mǎn)“長(zhǎng)度18”，卻可以鋪滿(mǎn)“寬度12”。前后反差，集中反映出“正好鋪滿(mǎn)”長(zhǎng)方形的關(guān)鍵在于“正方形的邊長(zhǎng)是否都是長(zhǎng)與寬的因數(shù)”。顯然，靈活應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，就能用直觀的幾何揭示抽象的數(shù)字性質(zhì)。隨后教師在學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題“什么規(guī)格的正方形才能正好鋪滿(mǎn)這個(gè)長(zhǎng)方形？”時(shí)，組織學(xué)生嘗試用邊長(zhǎng)6cm的正方形驗(yàn)證，學(xué)生通過(guò)操作證實(shí)了自己的設(shè)想。

二、想象和表達(dá)齊頭并進(jìn)

A教師的教學(xué)是通過(guò)能否鋪滿(mǎn)來(lái)舉證是否是公約數(shù)，但是在用“邊長(zhǎng)1dm”和“邊長(zhǎng)2dm”的小方塊密鋪時(shí)，學(xué)生的主要精力和思維焦點(diǎn)集中在算塊數(shù)上，而一個(gè)需要300塊，一個(gè)需要150塊，這樣的“操作”嚴(yán)重阻礙學(xué)生思維，很是贅余。此處可以稍加改進(jìn)，讓學(xué)生選擇想象或計(jì)算的方式，探究哪些方塊可以密鋪，這樣就簡(jiǎn)單易行，更具含金量。

在B教師的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷兩次操作后，已經(jīng)基本理解“公因數(shù)”概念。教師可以適時(shí)布置想象推演活動(dòng)：“邊長(zhǎng)3cm的正方形能否密鋪？請(qǐng)想象圖景。”“邊長(zhǎng)2cm或1cm的正方形能否密鋪？請(qǐng)你邊想象邊描述。”學(xué)生憑借操作經(jīng)驗(yàn)可以做到合理想象、清晰思考和準(zhǔn)確描述。交流時(shí)，教師再“由扶到放”，不斷誘導(dǎo)牽引，就能使學(xué)生的認(rèn)識(shí)從懵懂感覺(jué)到清晰表達(dá)，實(shí)現(xiàn)思維和語(yǔ)言表達(dá)能力的雙向提升。

綜上，A教師把“操作發(fā)現(xiàn)”看作“揭示規(guī)律”的唯一路徑，沒(méi)有發(fā)掘?qū)W生的主觀能動(dòng)性，在學(xué)生表達(dá)不規(guī)范的地方并沒(méi)有因勢(shì)利導(dǎo)，而是生硬轉(zhuǎn)折。B教師則把準(zhǔn)了學(xué)習(xí)起點(diǎn)，操作時(shí)，將長(zhǎng)和寬分別密鋪，凸顯了“正好鋪滿(mǎn)”的充分條件，而“公因數(shù)”概念的導(dǎo)入也正好建立在長(zhǎng)和寬同時(shí)能夠密鋪的前提下，可以說(shuō)是相當(dāng)完美的操作活動(dòng)。