淺析輪換對稱性在積分計算中的應用

宋麗雅

長治學院師范分院 山西 長治 046000

1 輪換對稱性在積分計算中的應用的意義

在定積分的計算中,我們常利用積分區(qū)間的對稱性,結合被積函數的奇偶性,可以極大地簡化計算的過程.那么,在重積分的計算中,類似地,我們可以利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數的奇偶性使計算更為簡便.相應地,我們還可以發(fā)現,在曲線積分中也有這樣的結果。

在解決實際問題的過程中,我們不難發(fā)現,積分區(qū)域的高度對稱性實際上表明了變量X、Y、Z之間的某種可相互替代性,這便是輪換性.一般來說,先使用輪換性簡化被積函數或使其形式易于化簡,之后再利用對稱性來解決問題,可以極大地減小我們在解決問題中的工作量.,提高解題效率,因此進一步加強對其的研究非常有必要。

2 輪換對稱性在積分計算中的應用

2.1 二重積分的輪換對稱性

平面區(qū)域D,具有輪換對稱性,即若點(x,y)∈D,則(y,x)∈D.在平面直角坐標系中,區(qū)域D具有輪換對稱性,直觀表現為區(qū)域D關于直線y＝x對稱。

例1設f(x)在[a,b]上連續(xù),且f(x)＞0,平面區(qū)域D:a≤x≤b,a≤y≤b,證明:

例2設D:x2＋y2≤1,f(x,y)在D上連續(xù),求cos2y)dxdy.所以

2.2 三重積分的輪換對稱性

空間區(qū)域Ω,具有輪換對稱性,即若點(x,y,z)∈Ω,則(y,z,x)∈Ω,且(z,x,y)∈Ω.在空間直角坐標系中,Ω具有輪換對稱性,直觀表現為Ω對三個坐標軸的相對位置是等同的。如Ω1:x2＋y2＋z2≤1和Ω2:(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≤2均具有輪換對稱性。

2.3 曲線積分的對稱性

設f(x,y)在曲線L上連續(xù),其中L為平面上可求長度的曲線段,當積分弧段關于x軸對稱,記L＝L1∪L1,且L1、L1關于x軸對稱,

如果f(x,－y)＝－f(x,y),則

類似也有積分弧段關于y軸對稱的結論.但積分弧段關于原點對稱或輪換對稱性的問題,以及類似結論在空間第一類曲線積分運算中也經常出現,我們有以下結論:

(1)設f(x,y)在曲線L上連續(xù),當積分弧段關于原點對稱,記L＝L1∪L2,且L1、L2關于原點對稱,

如果f(－x,－y)＝－f(x,y),則∫Lf(x,y)ds＝0;如果f(－x,－y)＝f(x,y),則

(2)設f(x,y)在曲線上連續(xù),當積分弧段關于坐標x,y具有輪換對稱性,則

(3)設ff(x,y,Z)在空間曲線Γ上連續(xù),其中Γ為空間上可求長度的曲線段,當積分弧段Γ關于y Oz坐標面對稱,記Γ1,Γ2分別為Γ在y Oz坐標面的前半部分(x＞0)和后半部分(x＜0),

如果f(－x,y,z)＝－f(x,y,z),

類似也有積分弧段Γ關于zOx、x Oy坐標面對稱的結論.

2.4 曲面積分的對稱性

設函數f(x,y,z)為有界光滑或分片光滑曲面∑上的連續(xù)函數,∑關于坐標面x＝0對稱,如果f(－x,y,z)＝－f(x,y,z),則

如果f(－x,y,z)＝f(x,y,z),則

(其中∑1＝(x,y,z)∈∑x≥{0}).

如∑關于坐標面y＝0,z＝0對稱,有類似的結論.而如果∑對坐標x,y,z具有輪換對稱性,則

以上是第一類曲面積分,這些結論我們一般都比較熟悉,而對于第二類曲面積分,我們先給出以下定義:

定義2 指定了曲面的側的曲面稱為有向曲面,根據曲面上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦的正負,我們定義了曲面的前側(cosα＞0),后側(cosα＜0),右側(cosβ＞0),左側(cosβ＜0),上側(cosγ＞0),下側(cosγ＜0)等.

總之,在定積分的計算中,我們常利用積分區(qū)間的對稱性,結合被積函數的奇偶性,可以極大地簡化計算的過程,因此進一步加強對其的研究非常有必要。