高中數學圓錐曲線教學的研究

鄧永梅

（云南省玉溪第一中學，云南玉溪 653100）

隨著新時期教學改革的不斷深化，素質教育對高中數學教學提出了新的要求。作為高中數學的重要組成部分，圓錐曲線知識在學生數學能力培養中發揮關鍵作用。因此，教師要想提高教學效率，就必須要對圓錐曲線教學模式和方法進行創新，盡可能地從學生的角度出發去設計教學活動，并且采用理論與實踐相結合的方式，提升學生解決問題的能力，進一步調動學生的學習積極性，幫助學生有效地理解和學習圓錐曲線知識，同時還能很好地培養學生的數學綜合能力。

1 高中數學圓錐曲線教學的現狀分析

1.1 當前教師的教學狀況分析

首先，無論是以學生數學綜合能力培養為目標，還是以單純迎接高考為目的，當前大多數教師都能對圓錐曲線的重要性進行明確認識，在實際教學中，他們往往會花費更多的時間和精力對圓錐曲線的知識進行講解。其次，盡管教師都能對圓錐曲線的重要程度有所認識，但是教師在教學時還存在一定的思想和觀念的缺陷，他們往往認為憑借長久以來積累的教學經驗就能引導學生逐漸理解和領會圓錐曲線的內涵，對于學生提出的一些創新的解題思路和方法，他們大多“置之不理”，顯然，這不但在一定程度上抑制了學生的學習積極性，還不利于進一步提升教學效果。最后，在教學形式方面，大多數教師仍然采用“黑板+題海戰術”的模式，在課上教學時，教師要花費大量時間進行作圖，然后讓學生埋頭做題，在這樣的教學環境中，學習比較容易養成定向思維，盡管學生通過“模仿”，能夠從表層上了解圓錐曲線，但是理解缺乏深度，一旦難度加大，學生就會覺得吃力。

1.2 當前學生的學習狀況分析

2 高中數學圓錐曲線教學案例展示及研究

2.1 對圓錐曲線的定義進行明確

由于學生大多都是第一次了解圓錐曲線的內容，因此教師首先要幫助學生了解圓錐曲線的定義，為什么雙曲線和拋物線要被稱作圓錐曲線，以如下例題為例，對圓錐曲線的定義進行分析。

例1.如果有長度為定值的平面β，XY是其斜線段，其中X是斜足，點Z在β平面上運動，使得三角形XYZ的面積為定值，問，點Z的運動軌跡是怎樣的？

A.橢圓 B.圓 C.平行線

在這一案例中，我們可以根據已知條件進行推算，其中三角形XYZ面積是恒定的，同時線段XY還是定值平面β上的斜線段，因此可以推斷出點Z到線段XY 的距離也是一個定值，通過這一點我們可以分析出點Z就位于圓柱的側面上，這個圓柱以XZ所在直線為軸，以點Z與XY的距離為地面半徑，同時又位于平面β上面，因此，點Z的軌跡就是圓柱側面同平面β的交線，然后結合圓錐曲線的定義不難得出選項A是正確答案。在這一過程的推算中，學生能夠對圓錐曲線的定義有一個全面的認識，而且這種方法明顯比死記硬背定義的效果要好很多，因為有些學生及時將定義背得滾瓜爛熟，但是在實際應用中還是會無從下手。教師在實際教學中，引入這樣的案例，可以幫助學生在理解的基礎上記憶定義，從而能夠達到學以致用的目的。

2.2 結合案例對解題過程進行演示

對于圓錐曲線的教學，教師在引導學生了解定義之后，就可以結合實際案例，創設教學情境，來進一步調動學生的學習積極性，以“圓錐曲線與方程”的教學內容為例，教師在教學內容引入環節可以對地球衛星的運轉軌道進行講解，然后讓學生聯系現實生活進行聯想，然后在結合具體案例進行教學。

例2.如果一個橢圓A和點B（9,3），X和Y是過點B的直線和橢圓的交點，再從XY上取一點P，求點P的軌跡方程。

這一案例的主要特點就是動點比較多，因此比較困難，教師可以通過實際演示的方式對學生進行指導，然后讓學生可以結合相關參數解決實際問題。首先要確定參數，然后對點P的橫、縱坐標的參數進行確定，最后再將參數消除，從而達到有效解決問題的目的，并可以快速得出正確答案。在這一過程中，學生可以加深對圓錐曲線知識的理解和應用，還能鍛煉審題能力，為解題效率的提升創造條件。

2.3 對解題思路進行總結，并把握關鍵要素

在正式教學過程中，教師可以結合學生的特點進行分階段的教學，比如，對于基礎階段的學生來說，教師可以先演示、再模仿，然后引導學生創造。在解題時，教師要引導學生梳理解題思路，并有效把握關鍵要素，不能以得出答案為根本目的。

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例3.如果X+Y=1是圓O的方程，點A的坐標是（3,0），圓O上有一個動點H，線段HA的中點是N，要求計算點N的軌跡方程。

對于這一道題，首先可以將點N的坐標用參數表示為（a，b），點H為（a1，b1），根據已知條件就可以得出（a1+3）/2=a，（b1+0）/2=b，由此可以得到a1=2a-3，b1=2b，另外，又知道點H是O上的一點，將其帶入到X+Y=1中，就得出其軌跡是（2x-3）+（2y）=1。

教師在講完這道題之后，不能得出答案就行了，而是要對解題技巧和方法進行總結，比如，就這道題而言，動點N的變化是隨著H的變化而變化的，我們稱之為相關點，在正式解題中，只有找出這些點的坐標之間關系，才能將參數進行帶入，從而得出其運動軌跡。

3 高中數學圓錐曲線的主要教學思路分析——以橢圓知識為例

例4.（2017年高考全國一卷20題）已知橢圓C1：x2/a2+y2/b2=1，其中a＞b＞0，已知四個點P1、P2、P3、P4，坐標依次為（1,1），（0,1），（-1，根號3/2）,(1，根號3/2)，其中有三個點在橢圓上，問：

（1）求橢圓方程；

（2）有直線L與橢圓交于A點和B點，但不過P2點，如果直線AP2和BP2的斜率之和是-1，那么證明直線L過定點。

解題思路分析：

首先，對于這一問題，教師在教學時，首先要對題目所考察的知識點進行明確，這道題明顯在考察學生對橢圓的定義和其性質的理解和韋達定理的應用，因此，教師在教學時要對這兩個知識點進行重點講解。

其次，對于這一個問題來說，我們對例題進行簡要解析：

第一問比較簡單，明顯的，P3和P4關于y軸對稱，因此有橢圓的對稱性可以得出，這兩個點在橢圓上，又可以根據a、b和0 的大小關系推斷出點P1在C1上，因此只有P2點不在橢圓上，將P4，P3，P1點的坐標帶入橢圓方程中就不難得出橢圓的標準方程。

第二問難度加大，主要考察學生對橢圓知識的綜合應用能力。可以根據題目已知條件，設兩條直線的斜率分別為k1和k2，因此k1+k2=-1，再將直線L方程設為y=kx+m(m不等于1)（其中L與x軸垂直的條件不符題意，省略），然后將直線L方程帶入問題1求出的橢圓方程中，可以寫出判別式，然后根據韋達定理和k1+k2=-1的條件，就能夠判斷出L恒過定點了。

最后，以這道題為例，教師還要對學生的易出錯點進行分析，對于第一問來說，學生比較容易出錯的地方可能在對點P1的判定上，因為一部分同學在不等式的大小比較問題上經常出錯，但只要將分子分母的大小關系和什么時候變號的問題認清，就不會容易出錯，因此在第一問發生問題的幾率比較小。第二問對很多學生來說都是難點，第一，沒有設參數的意識；第二，對橢圓和直線的關系認識不明確；第三，韋達定理應用能力欠缺。這些都是學生容易出錯的原因，因此教師在教學時，要重點結合這三個方面內容對學生的學習能力進行培養，讓學生養成一種意識，在接觸這類題時，能夠首先想到設參數，然后將相關問題聯系起來，并考慮應用了哪一方面的知識，在理順清解題思路的基礎上，提高解題效率。

4 結語

綜上所述，作為高中數學教學中最關鍵的組成部分，教師在進行圓錐曲線教學時，首先一定要讓學生明確圓錐曲線的定義，這樣才能為接下來的學習打下良好的基礎，然后再結合實際案例對解題過程進行演示，讓學生在從模仿到創造的過程中對知識進行深入記憶。當然在這一過程中，教師還要注重教學方法的運用，提高教學的實效性，保證教學工作更加順利地開展。