能力立意，啟發探究，突破瓶頸

張華

【摘要】本文結合近幾年高考提出以能力為主線的特點，提出注重在教學過程中引導學生數學思維能力的發展，淡化題型和題海戰術的重要性.在教學過程中加強對學生在數學概念、性質等基本知識本質特征的理解、加強數學知識之間的關聯性，用目標引領條件轉化的意識增強其探究能力，增強學生數學逆向思維意識能力，有效提高學生應變能力，走出固化思維的困境，實現質的改變.

【關鍵詞】特征分析能力；感知能力；誘思探究；累積升華

新課程高考下在數學方面提出新的要求就是以能力為主線考查學生對知識掌握、理解和運用的程度，考查學生對數學知識本質的認知、感知和應用能力.部分試題更接近生活，注重考查學生數據處理能力和實際問題轉化、建模能力，注重“類”問題考查（2016，2017理數第17題；2016，2017第21題），注重數學思想與方法，注重知識的交匯，立意新穎、構思巧妙，能很好檢測學生數學素養.這務必促使學生由傳統應試型向實踐探究型進行轉變，要求學生在學習過程中提升數學閱讀能力，新信息的理解和轉化能力.課堂教學作為整個教學環節的重心，教師在教學中的復習導向對學生數學知識、復習方向、能力提升起著舉足輕重的作用，既要讓學生摒棄題海戰術的不良影響，而另一方面，又需要通過相應的題目來提升學生的感知能力和特征分析能力，平衡“量”的問題是每一位高三教師應該思考的，從泛練到精煉，引導學生從量到質的改變.

一、在課堂教學中重視以學生活動為主體，有意識提升學生特征分析能力，提高學生對數學問題的感知能力

高三階段的數學學習以建立知識的系統性為主，構建知識的網狀結構，理順清楚知識的脈絡.如果把各種知識比喻成珠子，那么數學思想方法就應該是鏈子，如何能發揮學生對知識的掌控能力和運用能力，關鍵是把數學思想方法貫穿到所有知識中去，強調不同知識之間的互通和聯系，強調解題時先看問題或者條件的特征，不能草率魯莽主觀介入思想方法.教師在帶領學生研究問題時應該多提示，少整體講解，注重分析過程，注重學生在做的過程中易出現的錯漏，注重細節分析過程.比如，在復習立體幾何二面角專題時，學生的思維固定，不分青紅皂白地建系，而忽視對問題幾何特征的分析，筆者在講二面角專題時選了這樣一道問題：

如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AA1⊥平面ABC，D，E分別是CC1，AB的中點.

（1）求證：CE∥平面A1BD；

（2）若H為A1B上的動點，當CH與平面A1AB所成最大角的正切值為152時，求平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值.

學生在解決第（2）問時，習慣一開始就建立坐標系，而忽視對CH與平面A1AB所成最大角的正切值為的152幾何理解，通過設AA1=x，通過函數的角度來求線面角的最大值，發現只能堆砌式子無法求解，這都是學生解題過程的定式思維造成的，這對立體幾何問題研究是很不利的，本題應該先抓住H落在A1B何處時，得最大角正切為152，先做出線面角的平面角，即可找出當EH⊥A1B時，線面角平面角達到最大，從而解決AA1的長度與底面邊長關系，突破本題所設置的障礙.

在高三復習過程中，由于課堂容量大，重視問題的解法，而對某些性質或者定理只是蜻蜓點水，一帶而過，這些都是我們教師在教學過程中的誤區.其實這違背了數學知識掌握的過程，沒有進行研究和推理得出來的性質是很難長期保存的，如果學生對其只有朦朧的印象，而沒有經過意識加工，是很難得以運用的.許多性質對學生來說仍是朦朧的，不熟悉的，這非常有必要讓學生能利用已有知識進行推導，這樣他才能將掌握的性質運用自如.

比如，在講過拋物線焦點弦的性質時：y2=2px，過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，研究AF與BF關系問題時，如果直接將結論拋給學生1AF+1BF=2p，學生在腦海中的印象是不深刻的，如果讓學生自己推導，估計更多學生會從方程和弦長的角度進行推導，而忽視拋物線定義和幾何特征的應用.引導學生從直線傾斜角結合拋物線的定義，可得AF=p1-cosα，BF=11+cosα（α為傾斜角），這樣就可以順利解決AB在變化過程中的不變性，那么對以后此類問題均可以用此解決，該結論可以快速解決2017年高考選擇題第（11）題：已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（）.

A.16

B.14

C.12

D.10

我們常講餓死膽小的撐死膽大的，要鼓勵學生根據特征合理大膽猜測，小心求證，從而推動自己對數學感知能力的提升，很多問題學生往往不敢邁開步子，怕錯，可能就不能有效抓住頭腦中閃過的靈感.在課堂教學中鼓勵學生去猜去試，一方面，能練膽，另一方面，可以激發解決問題的欲望，有效突破思維的瓶頸.

二、在課堂教學中積極引入“誘思點撥”教學理念，通過循循善誘，培養學生的思維能力，激發學生的學習興趣，挖掘學生的數學潛能

每名學生都具備學習數學的潛能，但學生潛在的能力被開發了多少直接影響學生的解題能力.“誘思點撥”的主要理念是“盤敲側擊，以思為學，層層遞進，螺旋上升”，要求以“訓練為主干，以提升思維能力為主線”.高三數學課堂教學更應是注重學生思維能力的啟發，努力培養學生多角度思考問題，努力提升學生的綜合能力和聯想能力，引導學生思維多層次縱向發展.數學學習應是主體在頭腦中建立、聯系、轉換和發展數學知識結構的過程，是主體的一種自覺的“生成能力”的行為.這種行為應從主體的頭腦中產生出來，教師只起到一個助產和推動的作用.因此，“誘”是思維的根本，“思”是思維訓練的主攻方向，點撥是教師操作手段，以誘達思.

（一）在教學過程中可以通過設置學生感興趣的問題來實現誘導學生思維的積極性，比如，在復習等比遞推關系的時候可以引入羊群問題；在講推理的時候引入農夫，狼，羊，青菜運送過河問題.而且現在高考中也會設置能利用數學知識或者數學推理解決的現實生活問題.這樣首先能讓學生去主動積極的思考，然后學會通過引入知識來進行判斷，而不是盲目的猜測，既鞏固了已有的知識，還促進了學生思維能力的發展.

（二）通過設疑誘導，讓學生當診斷醫生，對問題的表達過程進行“挑刺”，培養學生思維的嚴密性.通過這幾年的教學筆者發現現在學生思維的嚴密性相比較而言有一定的下降了，我們可以先選擇一些有問題的解題過程（比較符合學生思維過程的），先讓學生進行診斷，找出誤區點，并指出錯誤所違背的原理，然后思考如何解決存在的問題，最后歸納總結和反思.比如，討論含參二次函數零點問題經常忘記討論二次項前系數符號問題（2017年高考第21題就涉及這個問題），利用導數討論函數單調性經常忘記函數定義域問題.對問題中的細節條件容易忽視，考慮問題不全面，從而失去了應有的得分.通過對錯誤解答過程的認識，就能讓疑慮引起認識沖突，激發認識需求.這樣既避免他們思考問題的盲目性，又讓他們重視了解題的細節過程，逐漸提高思維的科學性和嚴謹性.教學過程其實就是一個不斷地設疑、破疑、再設疑的過程，而學生提出問題、解決問題的過程就是在不斷完善自身知識的一個過程.通過疑問思考再破疑所獲取的知識遠比單純直接獲得的知識要有價值得多.

三、在復習過程中緊扣考綱，重視學生差距，尊重學生選擇

高三教學重點在復習，傳統教學模式下一般是教師手握復習資料，長篇大論，學生臺底下緊緊跟隨教師的步伐，從而導致教師主導與學生主體關系不明確，容易變成教師變成主角，學生由主演變成配角，課堂內容充實，但學生對知識的掌握只停留在大腦皮層，沒有深層次的加工，所以學生對知識就不能運用自如.而教學生“怎樣學”就是引導學生去發現自己知識的缺漏，思維的薄弱點，多反思為什么自己想不到，轉換不到位，只有產生一系列問題后，他才能清楚知道自己的病癥所在，才能主動聯系相關知識去消除這些障礙.把你要他學的東西變成他自己要學的東西，學生主體性、主動性自然出來了，教師主導作用也發揮了.同時教師還有一個更重要的任務就是引導學生去概括，總結，濃縮知識要點，形成自己的理解和表達方式，這樣才能更好消化知識，鼓勵和引導學生建立章節復習結構流程圖，建立知識的系統性，加強知識交匯處聯系，實現方法思想之間的銜接，提升學生的綜合運用能力.如，教到函數與不等式、數列與不等式等，學生自己根據相關例題、習題總結、歸納和反思，教師組織學生進行討論，共享成果，互相促進.高三課堂教學，板演不能丟，特別對一些重要知識點如錯位相減法、立體幾何證明過程等，讓中等偏下學生板演練習效果更佳，充分認識、理解學生就是要全面掌握學生水平，充分發動學生主觀能動性，實現師生交流碰撞，學生的思考由被動變主動.數學不同于語文等其他學科，它是抽象和應用相結合，時刻離不開獨立思考，教師的探究與體驗過程代替不了你的，更成就不了你的思維意識.學習的過程就是由表及里，由體驗到實踐的升華，通過問題實現體驗領悟與掌握的過程.所以高三教學僅有外部熱鬧，形式上華麗實質上沒有意義是行不通的，我們教學過程要使學生大腦有充裕的思想活動空間，在課堂教學中使學生從坐而聽向思而講的方式邁進，鼓勵學生大膽合理猜想和構建聯系.

四、重視累積效應，實現方法的遷移，力求從會解一道題到能解一類題的升華

通性通法講解在高三課堂教學過程中是非常重要的環節.教師要實現這一個過程需要豐富的素材，要潛心鉆研知識與方法的融合，在把握主干的同時，引導學生對于該類問題的操作方向，總結歸納在解這類問題時把握的核心要點，比如，研究解三角形問題上針對對邊、對角問題，就可以總結歸納利用余弦定理建立方程思想解決問題，這一點在2016年和2017年高考中得到充分體現：（2016年）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的面積為322，求△ABC的周長.（2017年）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a23sinA.（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.都是先解決對邊對角問題.學生只要掌握這一類問題的特征，就能迅速鎖定目標求解，從而少走彎路.數學問題解決由表及里，并能看到問題的外延.累積思想方法可以實現在不同知識領域內的遷移和運用，從而實現方法的跨越.比如，數列中不等式問題用到放縮法思想：

恒等變換下無法求要證不等式的和，需要將條件中的等式關系進行放縮，學生最難接受就是不等式變換，因為需要學生具有放縮意識，需要舍棄等式中一些量，舍棄什么舍棄多少就是放縮的難點所在，bn+1+1=b2n+bn+2>b2n+bn，這是一個跨越.將不等式兩邊同時取倒數1bn+1+1<1bn（bn+1）1bn+1+11bn+1<1bn，由數列{bn}單調遞增，b2=3，則在保留1b1+1，從第二項起放縮成以14為首項，13為公比的等比數列，即可證明不等式成立.最后還可以編成順口溜：數列求和想清楚，不能恒等便放縮；放縮意識不含糊，方向尺度要把握；裂項等比要鞏固，分析特征求突破.而在數列類放縮證明不等式思想可以遷移到函數類不等式問題，如2017年高考第21題第（2）問解決零點存在性問題時就用到放縮法的思想，已知函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.需要把函數f（x）中的x縮小成ex，這樣可以順利找出當00，從而解決問題，這也是本道題最難突破的地方.同樣2016年高考第21題第（1）問也同樣用到放縮法的思想，來結合零點定理驗證零點的存在性.這就是我們所說通性通法思想的延拓解決不等式問題.所以再碰到有關函數類不等式證明問題，可以嘗試用放縮法將原函數變形成為簡單有價值的函數.累積效應可以實現由量到質的改變，從而使解題更具有價值.

總而言之，有效的課堂教學其實就是對自己學生有目的地培養，不僅讓他們能在高考中取得理想的成績，更重要的是讓他們無形感覺自己的思維意識和思維品質都有了很大的提高.我們通常說沒有量的積累就沒有質的飛躍，我們不能硬性強迫學生接受數學知識，因為這會降低他們的運用能力，而要讓他們能充分意識到是為了提高自身的數學素質能力而學習.有效的高三課堂教學，一方面能讓他們感覺復習是針對現行的高考，但又在潛移默化中感知自身數學應用能力的提升，而數學能力的提升又相應發展了他們其他方面的能力，學生的學習質量也會有相應的提高.提高他們的觀察、分析、辯證、歸納、總結、創新等各項能力，這不就是我們新課程所期待的結果嗎？高三復習的目的不能僅僅為了高考150分服務，更重要的是讓學生形成良好的數學思維能力和數學行為習慣，從被動接受知識運用知識到主動思考問題，延伸問題并有效解決問題，讓數學素養成為推動思維能力發展的助燃劑，實現理性認知與感性認知的完美結合.