抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

王妍

【摘要】抽屜原理也被稱(chēng)作狄利克雷原理或者被稱(chēng)作鴿巢原理.研究抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)用是非常必要的.運(yùn)用抽屜原理解題的關(guān)鍵在于怎樣根據(jù)題意構(gòu)造出抽屜模型和怎樣找出符合題目條件的分類(lèi)方法，只要做好這兩點(diǎn)，就能通過(guò)簡(jiǎn)單的方法很快地解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】抽屜原理；抽屜原理與中學(xué)數(shù)學(xué)；抽屜原理的運(yùn)用

抽屜原理也稱(chēng)作鴿巢原理，它是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)最基本原理，最早是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805—1855）明確地提出來(lái)的.在中學(xué)數(shù)學(xué)中，抽屜原理的應(yīng)用是非常普遍并且靈活多變的，在解決一些看上去很復(fù)雜，使人無(wú)處下手，卻是相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)非常好用.

一、抽屜原理的三種形式

抽屜原理1 如果我們把n+k（k≥1）個(gè)元素放入到n個(gè)抽屜中去，那么我們得到的結(jié)論為：至少存在一個(gè)抽屜中含有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的元素.

證明 我們可以利用反證法.假設(shè)每個(gè)抽屜至多只能放入一個(gè)元素，那么n個(gè)抽屜至多放入n個(gè)元素，而并不是像題設(shè)中的那樣能放入n+k（k≥1）個(gè).這就和題設(shè)有了沖突，所以假設(shè)是不可能成立的，所以原命題成立.

抽屜原理2 如果我們把mn+k（k≥1）個(gè)元素放入到n個(gè)抽屜當(dāng)中去，那么我們得到的結(jié)論就是：至少有那么一個(gè)抽屜中會(huì)含有m+1個(gè)或m+1個(gè)以上的元素.

證明 我們利用反證法去解決問(wèn)題.假設(shè)每個(gè)抽屜當(dāng)中至多放入了m個(gè)元素，那么我們就可以知道n個(gè)抽屜當(dāng)中至多放入了mn個(gè)元素.而不是題設(shè)中的mn+k（k≥1）個(gè)元素.這就和題設(shè)有了沖突，所以假設(shè)是不成立，即原命題成立.

抽屜原理3 如果我們把無(wú)限多個(gè)元素放入到有限多個(gè)抽屜當(dāng)中去呢，那么我們就會(huì)知道：至少有一個(gè)抽屜中會(huì)含有無(wú)限多個(gè)元素.

證明 我們利用反證的方法.將無(wú)限多個(gè)元素放入到有限個(gè)抽屜當(dāng)中去；假設(shè)這有限個(gè)抽屜當(dāng)中的元素是有限多個(gè)的，那么我們就會(huì)知道：將有限多個(gè)有限元素相加起來(lái)，所得的元素的個(gè)數(shù)必定是有限數(shù)的.這就和題設(shè)有了沖突，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.

二、抽屜原理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）直接構(gòu)造抽屜

例1 證明：367個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日相同.

分析 平年是365天，閏年是366天.因題中未說(shuō)明是平年還是閏年，我們可以將一年視為366天.人的生日是一年中的某一天，已知有367人，要說(shuō)明至少有兩個(gè)人的生日相同，就必須構(gòu)造少于367個(gè)人的抽屜.因此，可以把每一天看作抽屜，而把367人的生日看作元素.

證明 將一年中的367天視為367個(gè)抽屜，368個(gè)人的生日看作368（367+1）個(gè)元素，把368個(gè)人的生日放入367個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理1，我們就可以輕易地知道：至少有兩人的生日是相同.

（二）分組構(gòu)造抽屜

如果題目中有明顯的取出或放入元素，但需要構(gòu)造抽屜，可根據(jù)問(wèn)題中的信息進(jìn)行分組構(gòu)造抽屜.

例1 從正整數(shù)1，2，3，4一直到200中，任取101個(gè)數(shù)，求證：一定存在兩個(gè)數(shù)；其中一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍.

分析 問(wèn)題是要求兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍，一個(gè)自然的想法是從數(shù)的質(zhì)因數(shù)表示形式進(jìn)行分組，每組中任意兩個(gè)數(shù)都存在整數(shù)倍的關(guān)系.我們把這樣的兩個(gè)數(shù)放到我們構(gòu)建的100個(gè)抽屜當(dāng)中去.

證明 如下構(gòu)造100個(gè)抽屜，其中每個(gè)抽屜里，任意兩個(gè)數(shù)都滿(mǎn)足一個(gè)是另一個(gè)的整數(shù)倍：

第1個(gè)抽屜：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26，1×27；

第2個(gè)抽屜：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25，3×26；

第3個(gè)抽屜：5，5×2，5×22，5×23，5×24，5×25；

第4個(gè)抽屜：7，7×2，7×22，7×24；

……

第49個(gè)抽屜：99，99×2；

第50個(gè)抽屜：101；

……

第99個(gè)抽屜：197；

第100個(gè)抽屜：199.

那么我們就可以根據(jù)抽屜原理1得出結(jié)論：隨意取出101個(gè)數(shù)中，必然會(huì)有兩個(gè)數(shù)同屬于一個(gè)抽屜，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的整數(shù)倍.

所以結(jié)論就是不超過(guò)18.

（三）按剩余類(lèi)構(gòu)造抽屜

我們知道，把所有整數(shù)按照除以某個(gè)正整數(shù)m的余數(shù)分為m類(lèi)，叫作m的剩余類(lèi)，用[0]，[1][2]，…，[m-1]表示.每一類(lèi)含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)，例如，[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，…，每一個(gè)整數(shù)必包含在而且僅包含在上述一類(lèi)中.在研究與整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常用某數(shù)（如，倍數(shù)）的剩余類(lèi)作為抽屜.

例3 證明：任意取出5個(gè)整數(shù)，必定會(huì)有3個(gè)數(shù)做和是3的整數(shù)倍.

分析 這里提到的3的倍數(shù)，用3的剩余類(lèi)構(gòu)造抽屜，任意取出的5個(gè)整數(shù)便是元素.

證明 以3的剩余類(lèi)[0]，[1]，[2]構(gòu)造三個(gè)抽屜，任意取出的5個(gè)整數(shù)放入3個(gè)抽屜有以下情況：

（1）如果有5個(gè)整數(shù)放入了大小完全相同的同一個(gè)抽屜，即這5個(gè)數(shù)被3除余數(shù)相同，那么其中任意3個(gè)數(shù)的和都能被3整除；

（2）如果5個(gè)整數(shù)放入其中的大小完全相同的兩個(gè)抽屜，即被3除余數(shù)只屬于其中的兩類(lèi)，因?yàn)?=2×2+1，根據(jù)抽屜原理2，總有3個(gè)整數(shù)在同一類(lèi)，即它們被3除余數(shù)相同，那么這3個(gè)數(shù)的和也能被3整除；

（3）如果5個(gè)整數(shù)分布在大小與規(guī)格完全相同的3個(gè)抽屜里，即3個(gè)抽屜不空，那么從3個(gè)剩余類(lèi)[0]，[1]，[2]中各取一個(gè)數(shù)，這3個(gè)數(shù)的和也能被3整除.

所以任意5個(gè)整數(shù)當(dāng)中，必定會(huì)有3個(gè)數(shù)做和是3的整數(shù)倍.

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