關(guān)于無窮級數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計研究

魏妙

【摘要】簡明敘述了無窮級數(shù)的發(fā)展歷史，據(jù)此對其歷史發(fā)展進行重構(gòu)，并進行教學(xué)設(shè)計.教學(xué)實踐表明無窮級數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果有很大幫助.大多數(shù)學(xué)生愿意接受數(shù)學(xué)歷史引入課堂的教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】無窮級數(shù)；發(fā)展史；發(fā)生教學(xué)法；斂散性

一、引 言

無窮級數(shù)是微積分教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，為后續(xù)研究學(xué)習(xí)提供了有力的工具.而現(xiàn)行的教材舍棄了無窮級數(shù)的歷史背景及其在歷史中的演化過程，學(xué)生僅憑教材中的內(nèi)容，難以深刻理解概念，與其他知識的聯(lián)系也知之甚少.M·克萊因說過，歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難，今天的學(xué)生也同樣會遇到[1]，以下在研究無窮級數(shù)發(fā)展歷史的基礎(chǔ)上，重新對無窮級數(shù)概念的內(nèi)容進行整合，探索符合學(xué)生認知規(guī)律的教學(xué)設(shè)計.

二、無窮級數(shù)的歷史及其重構(gòu)

無窮級數(shù)的歷史可以上溯到遙遠的古希臘時代.公元前5世紀哲學(xué)家芝諾提出了一系列關(guān)于運動的不可分性的哲學(xué)悖論，如著名的阿喀琉斯追龜問題、二分法問題.芝諾悖論所帶來的困惑說明，希臘的哲學(xué)家們無法將無窮多個線段之和與有限長度的線段聯(lián)系起來.亞里士多德認識到公比小于1的幾何級數(shù)有和[2].阿基米德在求拋物線弓形面積時利用雙歸謬法證明了幾何級數(shù)[3]

中國古代的《莊子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”也蘊含無限項相加的思想，用數(shù)學(xué)形式表達出來也是無窮級數(shù).中世紀法國學(xué)者奧雷姆，對幾何級數(shù)和調(diào)和級數(shù)進行了研究討論，為十七世紀關(guān)于無窮級數(shù)和無限過程的重要工作開辟了道路.

17到18世紀數(shù)學(xué)家大量的使用了無窮級數(shù)，主要有以下幾方面.首先，無窮級數(shù)被用來表示函數(shù)和超越函數(shù).牛頓在1666年得到了arcsinx的級數(shù)，并進一步得到了arctanx的級數(shù).在1669年的《分析學(xué)》中，給出了sinx，cosx等函數(shù)的級數(shù)表達式.萊布尼茨也在1673年左右獨立的得到了sinx，cosx，arctanx的級數(shù)形式.其次，無窮級數(shù)被用來表示一些特殊量如π，e.牛頓、萊布尼茨、格雷戈里、歐拉等數(shù)學(xué)家對級數(shù)的興趣很大一部分來自對特殊量的表示[2].如，萊布尼茨在1674年得到

此外，為適應(yīng)航海、天文學(xué)和地理學(xué)的發(fā)展，三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都需要展開為精度較大的展開式.值得注意的是這一時期的數(shù)學(xué)家們注意到了無窮級數(shù)在表示函數(shù)、理論證明、數(shù)值計算中有巨大的作用.但他們只是注意了級數(shù)的應(yīng)用而忽略了級數(shù)使用的前提即級數(shù)的斂散性.

十九世紀初期法國數(shù)學(xué)家傅立葉給出一個無窮級數(shù)收斂的正確定義.德國數(shù)學(xué)家高斯首次對收斂性進行了極為嚴密的研究，給出了高斯判別法，高斯的研究使無窮級數(shù)理論進入了現(xiàn)代時期.法國數(shù)學(xué)家柯西被看作是無窮級數(shù)斂散性理論的創(chuàng)立者.1821年《分析教程》中首次給出清晰的極限概念而且給出了判別無窮級數(shù)收斂發(fā)散的一些常用方法，如根式判別法、對數(shù)判別法[2].后來由魏爾斯特拉斯提出的一致收斂完成了整個級數(shù)理論的構(gòu)建.

根據(jù)上面的歷史考查，無窮級數(shù)的歷史大致可以分成萌芽、形成、確立三個階段.數(shù)學(xué)家在無窮級數(shù)的發(fā)展的初期無法將有限項相加和無限項相加的概念區(qū)分開，在早期使用無窮級數(shù)時基本沒有注意到收斂區(qū)間的判斷，而從早期使用無窮級數(shù)到無窮級數(shù)極限概念的建立更是經(jīng)歷了幾個世紀的漫長時間.

三、無窮級數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計

我們現(xiàn)用的微積分教材往往直接給出確定的定義和判別方法.盡管這樣的處理方式相當簡潔，但對照發(fā)生教學(xué)方法，它存在如下不足：（1）學(xué)生難以一下子完成從有限項相加到無限項相加的過渡；（2）學(xué)生對判別斂散性的必要性認識不深刻.因此，為了適合于教學(xué)，讓學(xué)生完成從有限到無限的過渡，進一步認識到判別斂散性的重要性，需要對教學(xué)內(nèi)容進行重構(gòu).并基于重構(gòu)的無窮級數(shù)歷史，設(shè)計無窮級數(shù)概念的教學(xué).用下圖表示無窮級數(shù)的歷史及其重構(gòu).

四、問卷調(diào)查及反思

為檢驗以上無窮級數(shù)概念教學(xué)設(shè)計的優(yōu)劣，對我校16級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)兩個班進行了課堂教學(xué)并進行了問卷調(diào)查，共收回問卷80份.被調(diào)查學(xué)生均使用華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材，并已完成了一元函數(shù)微積分部分的學(xué)習(xí).本節(jié)課采用了多媒體進行教學(xué).通過問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生十分認可本教學(xué)方式：學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)積極，對所學(xué)內(nèi)容表現(xiàn)出濃厚的興趣，有98%的學(xué)生表示完全或基本聽懂了課堂內(nèi)容；100%的學(xué)生認為從歷史發(fā)展講數(shù)學(xué)有助于理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，并希望以后有類似的教學(xué)方法.

五、總 結(jié)

回顧無窮級數(shù)的發(fā)展歷史，無窮級數(shù)從萌芽到確立經(jīng)歷了兩千多年的時間，直到19世紀在柯西等數(shù)學(xué)家的努力下才建立了嚴密的級數(shù)理論.本文給出的無窮級數(shù)概念教學(xué)設(shè)計呈現(xiàn)了無窮級數(shù)概念的發(fā)展過程，關(guān)注了學(xué)生的認知過程和學(xué)習(xí)動機.通過調(diào)查問卷發(fā)現(xiàn)此無窮級數(shù)的教學(xué)設(shè)計產(chǎn)生了理想的教學(xué)效果.對學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容有很大的幫助.

【參考文獻】

[1]Albers D J，Alexanderson G L.Mathematical People，Profiles and Interviews[M].Boston：Birkhauser，1985：169-172.

[2]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊）[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002：160-189.

[3]汪曉勤.19世紀上半葉的無窮級數(shù)斂散性判別法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004（20）：127-134.

[4]Kline M.Logic Versus Pedagagy[J].American Mathematical Monthly，1970（3）：264-282.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2001.