分類討論思想在數學解題中的應用探討

嚴建平

摘 要：在高中數學學習中有很多解題的思想方法，靈活選擇解題方法可以達到事半功倍的效果。其中分類討論思想是常用的一種解題方法，不僅可以幫助學生快速準確地解題，還能培養學生的條理性、嚴謹性等方面的能力，使學生的數學素養和思維能力同步發展。著重分析了分類討論思想在高中數學解題中的相關應用。

關鍵詞：分類討論思想；高中數學；應用

一、分類討論思想概述

（一）簡述分類討論思想

分類討論思想就是將較難的題目分為幾種情況，最終把每一種情況的結果匯總，得出一個結論。在解高中數學題時，我們通常會遇到這類情形，解答到一定程度，由于概念、含義不同，便沒有辦法進行統一解答，此時就需要分類討論。可以將分類討論思想理解為將一道數學題分為幾個領域，分別在每個區域解答后再匯總，這樣可以將問題化為較簡單的題目。另外，在分類解題時，需要參照分類標準，通過比較數學對象，找出他們的異同點，結合相同點和不同點進行分類。

（二）分類討論的原則

1.同一性原則

同一性原則強調在進行分類時必須采用統一的分類標準，不能這一步按一個標準進行分類，到下一步再選擇一個標準進行分類，導致解題的混亂。比如，在對角進行分類時，按終邊所在位置不同劃分，可分為象限角和軸線角；按旋轉方向不同劃分，可分為正角、負角和零角。若選擇不同的分類標準，會得到不同的答案。因此，在解題過程中，必須遵循同一性的原則，按照統一的標準進行分類。

2.互斥性原則

在分類時，要保證分類的各個子集之間相互排斥，沒有交集，即分類后，某一元素不能既屬于這一種情況，又屬于另一種情況，這樣將不利于解題。例如，把平面幾何中的三角形分為普通三角形、等腰三角形、等邊三角形就違背了分類的互斥性原則，因為等邊三角形是特殊的等腰三角形。

3.層次性原則

有時在解答一道數學題時，在第一次分類之后仍不能順利解決，此時，就需要在第一次分類的基礎上進行第二次分類，當遇到的問題較簡單時，可能一次分類便能解決，一旦遇到復雜問題，有時甚至需要進行多次分類，直至問題解決。例如，在解決方程（a-2）x2+3x-9=0的實數根的個數問題時，可以按照以下方式進行：

二、分類討論思想在高中數學解題中的具體應用

（一）在函數解題中的應用

函數是高中數學學習的重要內容，在解題過程中，方法也具有多樣性，而分類討論思想最為常用。函數中參數值對函數因變量的影響較大，一旦參數值變化，函數的結果也必然會變化。因此，對函數參數值的討論就顯得尤為重要。比如當k取何值時，函數y=（k+3）+4x-5（x≠0）是一次函數。我們可以根據參數值的變化分為以下三種情況：（1）當k+3=0時，該函數y=4x-5為一次函數。（2）當k+3≠0時，函數y=4x-2+k為一次函數。（3）當k=0時，函數y=4x-2為一次函數。通過這樣的討論，可以使學生對問題深入分析，保證解題的準確性。

（二）在概率解題中的應用

高中數學中，概率的相關知識在高考中占有重要的地位，將分類思想運用在此類問題中，可以簡化問題，起到事半功倍的效果，不僅可以節省時間，也可以提高解題效率。這部分知識在高考中也是必考的知識之一，解題過程中，可以從問題本身出發，結合具體要求對問題分類，最終獲得問題的答案。一方面，先確定問題屬于哪種概率類型，結合已知條件將每個數編號。另一方面，對研究對象中變量的可能性進行假設，選擇合理的方式解題。

（三）在數列解題中的應用

分類思想在數列中有很多應用，比如數列周期性問題、等比數列求和問題等方面。在形如“設等比數列的公比為q，前n項和Sn>0（n=1，2，3，…），求q的取值范圍”這類問題中，學生通常利用分類討論思想。在解題過程中，需要將q的取值分為兩種情況，分別為q=1和q≠1，經過深入研究，不難得到q的取值范圍。

綜上所述，在高中數學中，分類是學生必須掌握的一類思想方法，且符合教學規律。在數學課堂上學習相關的思想方法，可以增加師生之間互動的機會，培養師生間的感情，發展學生的思維能力，也有利于學生的成長。本文通過對分類討論進行探討，取得了一些成果，但是傳統的教學模式以及學生的探究能力差等現象，會對分類討論教學思想方法產生影響。在今后的教學實踐中，教師仍需努力全面研究分類討論的思想，從而突破學生數量多、學習效果不明顯等問題，經過后期的進一步深入研究，使分類討論思想更好地為高中數學的學習提供方便。

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