用好數學閱讀材料 內化數學核心素養*
——“購房中的數學”優質課比賽教學實錄與思考

●沈海全 (越州中學，浙江紹興 312000)

1 教學內容與目標分析

1．1 地位和作用

本節課是人教A版《數學(必修5)》第2章末“探究與發現:購房中的數學”［1］中的內容，是學生在學習了等差數列、等比數列的基礎上，以現實生活中“購房中的數學”這一實際模型為背景充分拓展數列的學習內容，讓學生感悟數列與現實之間的關聯，提高學生學習數列的興趣，促進學生對等差、等比模型更好的理解．培養學生從實際問題中抽象出數學模型的能力和運用數列知識分析和解決實際問題的能力．

1．2 教學內容解析

在深入學習和探究數列的性質后，要善于將等差、等比數列模型應用于生活，將數列生活化，既加深了學生對數列知識的理解，又能讓學生充分感受到數學源于對現實世界的抽象．數列在實際生活中有很多應用，例如人們在貸款、儲蓄、購房、購物等經濟生活中就涉及到大量的數列知識．本節課選取了購房貸款中等額本金還款法和等額本息還款法作為實例，讓學生充分感受到數學在生活中的廣泛應用，也能更好地從熟悉的事物中理解、體會、應用數學．通過本課題的探究，學生能感悟數學與現實的關聯，學會用數列模型解決購房貸款問題，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神．

1．3 核心素養分析

“探究與發現:購房中的數學”是一個運用數列模型解決實際問題的案例．對學生而言，應用數列模型的過程是典型的數學建模的過程．在這個數學建模的過程中，學生需要有將數列模型應用于現實的意識，需要有數列知識作為基礎．在實際情境中通過對現實問題的抽象、對數據進行分析，從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、計算求解、檢驗結果．其實，這就是對現實問題進行數學抽象、用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程［2］．

1．4 目標與目標解析

1)通過本節課的學習，學生能感受到數列知識在實際生活中的應用，理解購房貸款中等額本金還款法與等額本息還款法的基本計算和思想方法，提高從數學角度發現和提出問題的能力以及分析和解決問題的能力．

2)在購房貸款的學習過程中，學生經歷從實際問題中抽象出數學問題并建立等差、等比數列模型的過程，通過簡單運算解決問題，能發展學生數學抽象、數學建模、數學運算等核心素養．

3)通過本節課的學習，學生能認識數學的科學價值、應用價值，能提高學習數學的興趣，增強學習數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力，樹立善于思考、嚴謹求實的科學精神，不斷提高實踐能力．

本節課從購房貸款這一實際問題出發，利用數列知識建立數學模型并最終解決實際問題，學生經歷數學抽象、數據舍取、歸納推理、思辨提升、度量計算的基本數學建模過程，經歷從實際問題抽象出數學問題、從特殊到一般的過程，從而發展數學建模素養．

2 教學問題診斷與支持條件分析

學生已經學習了等差、等比數列的基礎知識，為本節課打下了一定的基礎，但系統地應用所學知識解決實際問題，即對如何抽象、如何建模并不熟悉，因此會遇到一定的困難．

根據以上分析，本節課的教學重點是解決兩種還款方式的計算方法，同時對兩種還款方式作出比較，提供決策依據，從中體會用數列模型刻畫現實世界中的貸款問題，經歷較完整的數學建模過程．教學難點是如何從實際問題中抽象出數列模型，并完成模型的求解、解釋，教師通過設置合適的問題啟發學生思考，讓學生小組合作探究、動手實踐完成建模過程，借助計算器等工具完成運算，從而有效突破難點．

為了有效地突破學生的思維難點，學生要先計算兩種還款方式前幾期的還款金額，從中發現等差、等比數列的數學模型，其他大量的計算將通過計算器和Excel軟件完成后呈現．學生經過充分思考和動手實踐，提高學生小組合作能力．為此，學生課前要準備好科學計算器，教師備好PPT和Excel計算數據．

3 課堂實錄

3．1 創設情境，提出問題

購房貸款是現實生活中的常見問題，一般銀行會提供兩種還款方式，購房家庭該如何選擇呢?

情景1購房是我們生活中的熱門話題，這兩年紹興的房價漲幅很大，老師心里真的很著急，急什么呢?和在座同學的爸爸媽媽一樣為了孩子讀書的問題，因為兒子今年5歲了，眼看快到了上學的年齡，但是學區房還沒有買好．看著身邊同齡孩子的爸媽都已經準備好了，老師也實在等不及了，和家人商量后還是打算在近期購買學區房．這幾天一直在找房子，其中有一套感覺比較適合．

有兩種還款方式可以選擇，即等額本金還款法和等額本息還款法．今天老師想和同學們一起用學過的知識來分析這兩種還款方法，最后想讓同學們給老師一些合理的建議．

師:根據以上購房貸款信息，哪些數據信息對兩種還款方式的計算是有用的呢?生1:貸款60萬元，分120期，月利率0．45%．師:那么等額本金還款法和等額本息還款法，該選哪一種呢?

設計意圖通過現實生活中購房貸款問題的描述，激發學生的探究興趣．學生要能從所給的信息中提取對計算還款有用的數據信息，能促進數據分析核心素養的提升．

3．2 合作探究，形成新知

3．2．1 等額本金還款法

等額本金還款法是指貸款人在還款期內，每月償還貸款本金不變的一種還款方式，即:從貸款后的第二個月起，每月償還相等的本金和該月所需的利息(注:向學生特別強調相等的本金和該月所需的全部利息)．

師:接下來我們一起來模擬如何還款，如果采用這種還款方法，第1期、第2期分別要還款多少呢?

情景2房子看好了，接下來90萬的購房款是最大的問題．家庭經濟狀況:家庭每月總收入1．2萬，現有存款33萬，打算首付30萬，商業貸款60萬，按月還款，10年付清，共120期．

接下來老師咨詢了銀行的工作人員，他給了我這些信息:商業貸款10年期年利率為5．4%，月利7677．5元．

師:這位同學說得很好．接下來請同學們填好學案中表1的信息，并仔細觀察等額本金還款法所蘊含的規律．

表1 等額本金還款法

生3:由等差數列的前n項和公式Sn=，可知共支付利息163350元，還款總額為763350元．

設計意圖通過合適的問題引導，師生活動共同完成表格，完成表1的前面幾行后，學生能觀察出等額本金還款法蘊含的等差數列規律，就能運用等差數列的知識完成模型求解．在此活動過程中，學生經歷了一個數學建模的過程，從實際問題的數據選取開始，再計算前幾期的還款額，由特殊到一般的方法建立了等差數列的模型，將實際問題轉化為數學問題，完成了數學問題的求解后也能解釋其在實際問題中的含義．學生體會到了數學的科學價值、應用價值．

3．2．2 等額本息還款法

等額本息還款法是指貸款人在還款期內，每月償還的本金及利息之和不變的一種還款方式，即:從貸款后第二個月起，每月以相等的款額平均償還貸款本金和利息(特別注意:本息指的是本金和利息，通俗地講就是每期的還款額是一樣的)．

師:等額本息還款法每期的還款額是一樣，但還是未知的，那如何計算呢?

生4:因為每期的還款額是一樣，所以可以設為x萬，我們可以類比等額本金還款法，先計算前

學生在完成表1后，教師提出問題．

師:表1中的數據有什么規律嗎?

生3:每期本金不變，利息部分成遞減的等差數列，每月還款額成遞減的等差數列，公差都為－22．5元．

師:到第120期結束，共還了多少利息，總的還款額又是多少呢?面幾期，然后觀察是否有特殊規律．

師:這位同學說得太好了，那我們來計算下第1期的相關數據．

生5:可以這樣來考慮，第1期末的時候，本金60萬已經使用了一個月，本金和利息合計應還的總金額為60(1+0．45%)萬，設第1期的還款額為x萬，這樣第1期末后，還欠的總金額為60(1+0．45%)－x萬．

師:大家按照這樣的思路，計算第2期末的情況，為了表達式簡潔，我們將1+4．5%記為a．

生6:第2期末應還總額60a2－ax，第2期的還款額仍為x萬，第2期末還款完成后，還欠的總金額為60a2－ax－x萬．

師:很好!接下來，請同學們以4人為一組討論填好學案中表2的信息，并討論等額本息還款法所蘊含的規律以及未知量x如何求解．

表2 等額本息還款法

生7:等額本息還款法中蘊含著等比數列求和的規律，到第120期末的時候，還欠的總金額應為0元，從而60a120－a119x－a118－…－ax－x=0．

師:太棒了!這樣代入已知的數據，就可以計算出未知量x了．

生7:是的，也就是60(1+0．45%)120－(1+0．45%)119x－(1+0．45%)118x－ … －(1+0．45%)x － x=0，即60(1+0．45%)120=(1+0．45%)119x+(1+0．45%)118x+… +(1+0．45%)x+x．由等比數列的求和公式，得

因此，每期還款額為6481．89元，還款總額為777826．38元，共支付利息為

777826．38 －600000=177826．38 元．

學生將體會到其中的等比數列規律．

設計意圖師生共同完成表格，通過表2的填寫，學生能觀察出等額本息還款法所蘊含的等比數列規律，運用等比數列的知識完成模型求解．教師設置問題適當引導，學生小組合作探究，經歷體驗了從實際問題抽象出數學問題、從特殊到一般的數學建模的完整過程，發展了自主學習的能力，樹立了善于思考、嚴謹求實的科學精神，不斷提高實踐能力，從而發展數學建模素養．

3．3 歸納對比，決策建議

師:請同學們結合老師家的實際經濟情況，給一些合理的建議．

生8:我建議選擇等額本金還款法，因為這樣的話10年內可以少付利息14476．38元．

生9:根據實際經濟情況，我建議選擇等額本息還款法．因為家庭的月收入為1．2萬，如果采用等額本金還款法，第一個月要還7700元，第二月要還7677．5元，這樣每月余下來的只有4000多元，家里的日常費用會比較緊張．而采用等額本息還款法，每月的余額有5500多元，對家庭的日常費用會有緩解．

師:感謝兩位同學的合理建議，這些建議都很有道理，看來老師還要和家人商量下再作選擇．

設計意圖這個環節將本節課推向了高潮，學生比較兩種還款方式，思考其中的優缺點，并結合家庭實際情況，提出合理化的建議．在情境中潛移默化地讓學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界．

3．4 回顧反思，小結提升

課堂小結讓學生談一談今天這個研究性學習課的收獲．

設計意圖本節課學生經歷了建立數列模型的基本步驟，比較兩種還款方式的優劣，并給貸款人提供了合理的建議，從而提高學生的數學建模、數據分析、運算求解等能力．學生感知數學其實是來源于實際，并服務于實際，能用數學的眼光去看待問題、用數學的思維去思考問題、用數學的方法去解決問題．

3．5 針對實際，撰寫報告

1)等額本金還款法:共支付利息163350元，償還總額為763350元;等額本息還款法:共支付利息17782．38元，償還總額為777826．38元．兩者利息差額為14476．38元．

銀行方面讓貸款者自由選擇，難道銀行不想多賺點錢嗎?貸款人選擇等額本息還款法真的一定多付利息14476．38元嗎?實際上對銀行而言兩種還款方法其實是一樣的，你能解釋其中的原因嗎?

2)隨著經濟發展工資收入可能會越來越高，若有提前還款的可能性又該如何選擇呢?

設計意圖以上兩個問題的拋出，會引起學生極大的思維沖突，激發學生的思維火花，為課后進一步自主探究提供了素材和方向．

4 教學思考

這節內容選自于人教A版教材的閱讀材料，筆者以學生自主探究為主，充分發揮學生的主動性，課堂氣氛和教學效果都超過了預期的設想，獲得市直優質課比賽一等獎．鑒于此，針對高中閱讀材料學習課，有以下兩點思考:

1)以閱讀材料為載體激活學生的數學思維，提升學生的數學體驗．

數學源于對現實世界的抽象，《普通高中課程標準(2017年)》強調數學與生活的聯系，閱讀材料能引導學生學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界，提升學生用數學解決實際問題的能力．但在實際教學中最大的問題是:因為與考試沒有直接的聯系，教師很少關注教材閱讀材料．數學課堂教學要為學生創造自主探究與發現的機會，培養學生終身受益的學習習慣和思維方法，而教材很多章節后面的“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與發現”等閱讀材料是很好的載體，可以有效激活學生的數學思維，提升學生的數學體驗．

2)以閱讀材料為載體放手數學課堂，內化數學核心素養．

讓學生主動參與課堂、合作交流，就需要放手課堂，而閱讀材料是很好的載體，在探究中體驗知識的發生與發展過程，感受數學與實際的關聯．在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題、探索問題、解決問題，讓學生多元地體驗課堂．在問題的解決過程中內化數學核心素養，提升實踐能力，增強創新意識．