基于直觀想象“3個水平劃分”的教學*
——以“幾何法”解向量問題為例

●王 華 (桐鄉第二中學，浙江桐鄉 314511) ●沈金興 (鳳鳴高級中學，浙江桐鄉 314500)

直觀想象是《普通高中數學課程標準(2017年)》(以下簡稱《新課標》)中所提出的六大核心素養之一．《新課標》給出的定義是:借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養［1］．由此可見，《新課標》要求學生更多地借助幾何直觀或者空間圖形想象來描述、分析和解決問題．而空間立體幾何與平面幾何可統稱為“幾何圖形”，因此應用幾何圖形的直觀模型是培養直觀想象核心素養的最主要途徑．

1 直觀想象“3個水平劃分”的解讀

《新課標》同時還給出了直觀想象核心素養的3個水平劃分．它就是從描述數學問題、理解數學問題和探索解決數學問題這3個方面進行劃分的，可簡明扼要地這樣理解:

水平1能夠在具體情境中抽象出實物的幾何圖形，能夠根據圖形想象實物．

水平2能夠在關聯的數學情境中想象并構建相應的幾何圖形，借助圖形提出數學問題．

水平3能夠綜合利用圖形理解數學各分支間的聯系，能夠在科學情境中借助直觀想象建立數學與其他學科的聯系，并形成理論體系的直觀模型解決問題．

南京師范大學的喻平教授認為學科核心素養應包括“知識理解”“知識遷移”和“知識創新”這3個層面［2］．筆者認為知識的理解、知識的遷移和知識的創新可分別對應于學科核心素養的一級水平、二級水平和三級水平，因此喻教授3個發展層次的劃分與《新課標》的3個水平劃分基本一致，異曲同工．

當然，《新課標》中這些由低到高的水平層次是分先后順序的，學生在某一水平上要達到理解和遷移，其前提必須具備前一水平上的大部分能力;反過來，學生在某一水平上理解不深，到了高一層次水平反過來俯視前一個層次內容時，就可能理解清楚了［3］．于是筆者將3個水平劃分高度概括一下:水平1相當于“看圖想式”或“看式譯圖”，即看到圖形就能聯想到數學式子或將數學式子“翻譯”成幾何圖形，也就是知識理解的層次;水平2相當于逆向思維——“看式構圖”，由數學式子(如等式、不等式、向量式等)聯想構造一個圖形來解決問題，這就難了很多，屬于知識的遷移;水平3相當于綜合的“聯系應用”，既可以是數學各知識點的互相聯系，也可以是跨學科聯系建立模型應用，屬于知識的創新使用以解決問題．因此喻平教授的3個劃分層次“知識理解”“知識遷移”“知識創新”正好成為《新課標》中3個不同水平直觀想象的劃分標準．

當然，即便是同一水平的直觀圖形，也有高低不同的層次之分．此時的劃分標準，筆者認為可按思維含量的高低來區分．比如，同是“看式構圖”水平2的直觀想象，需要用到“知識遷移”，而遷移有同化遷移、順應遷移與重組遷移．同化遷移是指直接將原有認知經驗應用到本質特征相同的一類事物中，因而思維難度較小;而順應遷移指將原有認知經驗應用于新情境中，需要更高一級的認知結構，故思維難度增加;重組遷移指重新組合原有系統中某些構成要素以建立新的聯系，從而適用于新情境，思維難度更大．因此，還可將水平2的直觀想象按遷移的同化、順應與重組作為劃分標準，即以構建圖形的思維難度從低到高可再細分為第一層次、第二層次和第三層次，不過思維的難易度也都是相對而言的．

眾所周知，向量是既有大小又有方向的量，因此它本身就是一個“數與形”的結合體，從而就成了溝通代數、幾何和三角的橋梁．作為具有“兩重性”的向量，它有很多定義、運算或結論都可用幾何圖形的直觀來呈現．既然向量的這些運算與幾何直觀是“與生俱來”的，那么在解決向量問題時，除了用代數法、坐標法外，還可以用幾何法．因此，向量就成了培養直觀想象核心素養的最佳載體．下面以“幾何法”解決向量問題為例來體現直觀想象3個水平的教學．

2 教學設計

2．1 教學內容與學情分析

本節課是在高三復習“平面向量”這一章節時的應用鞏固課，是綜合應用向量定義、運算的幾何意義等知識，采用幾何法解決向量問題的一個微專題．由于是專門集中應用幾何直觀來解題，故先要回顧向量中涉及幾何意義的相關知識，然后按直觀想象從低到高的不同層次水平設計相應的例習題．

雖然前面已復習鞏固了平面向量的相關知識，又學習了代數法、坐標法等解決平面向量問題的方法，為本節課打下了一定的基礎．但是由于沒有系統學習基于直觀想象的幾何法解決向量問題，直觀想象素養在向量這一章節中還沒有得到很好的培養，再加上學生在應用幾何直觀圖形解決向量問題時不熟練，因而導致學生對于這一類向量問題無法解決或者說是無法運用更好的方法加以解決．

2．2 教學目標與重難點

1)教學目標:能一目了然想出圖形所要表達的與向量有關的數學式子或者用幾何圖形來呈現簡單的向量關系式;能通過聯想后構造某個幾何圖形進行說明并解決相關的向量問題;利用直觀想象將向量與其他數學知識綜合應用或者是跨學科的綜合聯系應用．

2)教學重點:借助不同層次直觀想象水平的幾何圖形解決向量問題．

3)教學難點:構建水平3的幾何直觀圖形解決向量問題．

2．3 教學形式

采用小組合作與借助信息技術進行局部探究的形式．為了更有效地突破學生的思維難點，課堂上將學生進行分組，5人一組，共分成8組，分別記為1，2，…，8．每組中的學生數學程度好、中、差不等(教師隱性分層)，從低到高分別記為A，B，C，以便讓不同層次的學生回答不同水平的問題．比如1組生B，表示第1小組中程度中等的學生．

2．4 教學過程

師:我們已復習鞏固了向量的相關知識，知道了許多向量式子都可用幾何圖形來呈現．比如向量的加法、減法、數乘，尤其是向量數量積的幾何意義．

幾何意義1數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ之積;

圖2

圖1

結論1如圖2，平行四邊形對角線與四邊關

2．4．1 水平1直觀想象向量題

師:先研究比較簡單的幾何法解向量題，只需“看式譯圖”或“看圖說話”即可，然后再循序漸進，逐漸提高用幾何法解題的難度．

例11)已知 a≠0，b≠0，且|a|=|b|=|a －b|，則 a 與 a+b 的夾角為______．

2)已知 a+b+c=0，a⊥b，且|a|=1，|b|=2，則|c |= ______．

先讓每個小組進行討論，然后讓小組中某一人進行回答．

1組生A:第1)小題，以a，b為鄰邊構造一個平行四邊形，則該四邊形為菱形，如圖3，且a與b夾角為60°，很明顯a與a+b的夾角為30°．

圖3

圖4

2組生A:第2)小題，以a，b為鄰邊構造一個平行四邊形，因為a⊥b，所以該四邊形為矩形，如

例21)在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則______．

(2012年浙江省數學高考理科試題第15題)

3組生A:第1)小題，將題目條件畫成圖5，則由數量積的幾何意義2得

圖5

圖6

4組生A:第2)小題根據題意畫出圖6，由圖及數量積的極化恒等式形式得

設計意圖上述2個例子的4個小題都可用“代數法”解決，比如應用兩邊平方法、向量回路等技巧，但比較“死板”且計算量較大．把已知條件和所求目標根據向量的幾何意義“翻譯”成幾何圖形，用初中已學的平面幾何性質就能立刻求得，體現出了幾何法的優越性．由于只需要將條件轉化為幾何圖形即可，“看式譯圖”(例1)或“看圖想式”(例2)都比較簡單，故屬于水平1的直觀想象．

2．4．2 水平2直觀想象向量題

1)水平2的第一層次．

例31)若|b|=1，＜b，b－a＞ =30°，則|a|的取值范圍是______．

2)已知 a，b是單位向量，且 a⊥b，(a－c)·(b－c)=0，則|c|最大值為______．

5組生A:第1)小題根據條件構造圖7，顯然若a與b的始點相同，則a的終點軌跡就是直線AB，于是|a|的最小值就是當OA⊥AB時OA的長度，即

圖7

圖8

6組生B:第2)小題根據題意作圖，因為(ac)⊥(b－c)，由“對角互補，四點共圓”的結論可構造一個圓，而圓內為內接正方形，如圖8．于是|c|的最大值為圓的直徑長

設計意圖這2個小題都是根據題目條件構造圖形，屬于“看式構圖”，但也需要平面幾何知識的遷移，是水平2的直觀想象．不過由于圖形較易想到，所求的范圍、最值也直觀明了，故是水平2的第一層次，因而每小組程度中等及以下的學生也能回答．

2)水平2的第二層次．

例4已知△ABC的外接圓圓心為O，且AB=

7組生C:我們小組在剛開始作出圖后就束手無策了，后來經過討論，認為既然兩個向量毫無關聯，那么肯定要轉化，讓這兩個向量找到共同點，于是聯想到同一個起點A，即這時就很自然想到數量積的幾何意義1，也就是上的投影，如圖9，然后根據圓的“垂徑定理”得

圖9

設計意圖此題綜合性較強，除了需要“轉化與化歸思想”外還要聯想到數量積的“投影”幾何意義與“垂徑定理”，是順應遷移，屬于水平2直觀想象的第二層次．學生也是經過相互討論探究，才逐漸想到該方法的，故讓程度好的學生回答．

3)水平2的第三層次．

(2014年浙江省數學高考理科試題第8題)

8組生C:我們小組剛看到題目也是毫無頭緒，因為條件給出的是兩個最值函數，而可選項卻都是向量，不知如何處理．在討論時仔細觀察了4個選項，發現有|a|，|b|，|a+b|，|a －b|，于是聯想到平行四邊形的對角線與四邊關系的結論，構造以a，b為鄰邊的一個平行四邊形，如圖10，則有關系式

圖10

設計意圖該題的“看式構圖”難度很大，只能從可選項的形式中聯想到平行四邊形中的結論．可這樣還不行，還需要理解兩個不等式才能作出正確選擇．由此可見，該題屬于重組遷移，是直觀想象水平2的第三層次，有利于訓練學生豐富的想象力．學生通過討論，在思維碰撞后產生聯想，也能解決該題．因此，小組合作、討論探究后的互相啟發有利于培養學生直觀想象的核心素養．

2．4．3 水平3的直觀想象

師:經過前幾個例子的練習，大家都有了運用幾何法解向量題的基礎，也積累了應用幾何圖形解題的經驗．為了充分發揮大家的想象力，可能還需要與其他學科聯系起來，創新應用跨學科知識來解數學題，或整合數學各個知識點間的聯系進行創新應用．

例6在△ABC內有一點 O，且滿足+0，則點O是 ( )

A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心

教師讓幾個小組中程度較好的學生回答，結果都是用數學方法解決，無學生想到用其他學科知識來做，于是只好由教師自己講解．

師:剛才幾組同學都是用數學知識來解決，當然是可以的，但如果這樣做，體現的思維水平不高．如果我們能拓展一下思路，發散思維，充分想象，可利用跨學科的物理知識來解決．比如構造這樣一個物理直觀模型來理解，如圖11，平面上3個不同的點A，B，C分別作用在點O上的C ，由 于說明合力為0．根據牛頓第一定律，合力為0的物體或靜止或勻速運動．現在△ABC靜止，而要讓一個物體保持靜止，則只有把支撐點放在物體的重心上才能保持平衡，于是得點O就是△ABC的重心．

設計意圖向量題與物理知識聯系起來，利用了牛頓第一定律很直觀地解決了數學問題，且不需要計算，屬于跨學科的創新應用．因此，如果是從物理學視角去分析解決題目，就屬于水平3的直觀想象．

圖11

圖12

例7如圖12，已知在Rt△ABC中，CB=CA=2，點M為AB的中點，點P為△MAC內任意一點(包含邊界)，若把△MAC沿邊MC翻折，使得的最小值等于－，則銳二面角A-MC-B為 ( )A．75° B．60° C．30° D．45°

圖13

2組生C:如圖13，先利用向量的幾何意義2的極化恒等式得

設計意圖將平面向量與立體幾何聯系起來，并把數量積的幾何意義2拓展到了三維空間，同時還涉及到了立體幾何中的翻折問題，充分訓練了學生的空間想象力，綜合應用了數學中相關知識的互相聯系，屬于水平3的直觀想象．

2．5 回顧與小結(略)

3 教學反思

《新課標》提出的六大核心素養，對中學一線教師來說似乎高深莫測，其實不然，只要仔細研究、深入挖掘，完全可以設計出符合《新課標》要求的生動案例，讓學生在不知不覺中提升核心素養的水平．

本節課設計的3個不同水平、不同層次的直觀想象例題，是層層遞進的，在教學時也是讓學生循序漸進、逐漸適應的，最后達到開闊學生視野、拓展學生思維的效果，很好地培養了學生的直觀想象核心素養，由此得到核心素養培養方面的若干教學反思．

反思1核心素養的培養宜按從低到高的水平遞進，以本節課的實際授課情況看，將直觀想象的3個水平從低到高來呈現例子的方式最容易被學生接受，學生解決了低水平的題目后，既掌握了方法又增強了自信，然后循序漸進地提高水平，學生也會漸入佳境，達到最終目標．

反思2同一水平不同層次的設計應在學生的最近發展區．在設計同一水平的例子時，也要按從低到高的層次遞進，且中間不要跳躍，即在思維上要處于學生的最近發展區．如都是水平2的直觀想象例子，其知識遷移就是按其思維難度從低到高的同化遷移、順應遷移與重組遷移來發展．

反思3水平3案例的應用前需要適當鋪墊才能作為核心素養水平3的例子，即需要知識的創新應用，這說明無論是跨學科的知識聯系應用還是數學知識間的綜合應用，都具有較大難度．因此應用前需教師作好鋪墊，搭好腳手架，才能讓學生順利解決．如本節課的例6，由于事先沒有作好跨學科知識的鋪墊，學生根本不會想到用物理學的視角去思考，最終導致只能由教師來講解此法，這也是本節課的不足之處．