小學數學對應思想的教育價值探微

陳凱平

（福州教育學院附屬第二小學，福建 福州 350001）

“對應”是現代數學中重要的基本概念之一，它所反映的是兩個集合的元素間的關系。［1］其中小學階段常見的數學思想方法“一一對應”，就是建立在“對應”思想基礎上的一種特殊對應。此外，數學中有幾類非常重要的對應就是映射，主要有：點集與點集映射、數集與點集映射、幾何圖形點集之間的映射、幾何圖形點集與數集之間的映射等……本質，上小學數學中的“對應思想”也可以看作是“集合思想”的初等形式與重要組成要素。

相對于轉化、符號化、建模、推理等重要的數學思想，小學數學中“對應思想”的教育價值未引起重視。研究和挖掘“對應思想”的內涵，把握其對于數學核心素養培養的意義和價值，探微鏡理，進而融入教學之中，還有許多問題值得研究探討。

一、讀通教材──把握“對應思想”的前提

所謂讀通教材，就是教師在讀懂教材描述內容，明確教材所描述的雙基知識這條明線之外，還要感悟和挖掘隱藏其中的數學思想方法、數學活動經驗等。［2］通讀小學數學教材不難發現，“對應思想”時隱時現，無處不在，因此讀通教材是把握“對應思想”的前提。

1.概念教學中的新知與舊知對應

教材中許多新知概念都是以對應方式呈現，如加減乘除算式中各部分名稱、比的各部分名稱等。以新舊知識對應的呈現方式作為學生認知的切入點，建立起數學符號以及新、舊知概念之間的對應聯系，更易于學生加深認識、理解并掌握，從中滲透對應思想。

2.抽象概念教學中的抽象與直觀對應

抽象是數學學科的重要思想和特點，然而，學生難以理解數學的抽象性，因此教材往往通過生活中學生熟悉的事物或者形象直觀的圖形，建立起抽象和具體之間的聯系，降低學生認知抽象概念的難度。以數的認識為例，縱觀小學數學人教版教材，在教學數的認識或練習中均借助了數軸，借助數軸上的點與整數、小數、分數之間的一一對應關系，讓學生在對應直觀的認識基礎上，對數的大小、數的運算、整數與分數、小數、負數四者之間的關系形成抽象概念，從而促進抽象概念的理解。這樣的教材呈現方式更符合小學生認知規律特點，在認識抽象數學概念過程中，“對應思想”貫穿始終，也為今后拓展認識新的數域打下堅實的基礎，并從中積累直線上點集和數集之間聯系的數學活動經驗。

3.空間圖形教學中的新舊圖形的對應變換

在空間圖形教學中，不管是認識圖形、感受空間方位，還是確定物體的位置等章節，“對應思想”為發展學生空間觀念發揮不可替代的重要作用，尤其以圖形的運動和變換為最。［3］以人教版四下數學《圖形運動（二）》為例（見圖1），任意一個軸對稱圖形除了對稱軸上的點外，原有圖形上的任意一個點都有一個與之對應的對稱點，即對應點。正是得益于“對應思想”，搭建起軸對稱變換中已知圖形和運動后圖形的聯系，讀通教材才能發現蘊含在圖形表象中的數學本質。

圖1

二、融合思想──把握“對應思想”的核心

弗利德曼說過：“數學的邏輯結構的一個特殊的和最重要的要素就是數學思想。”相比于單一的數學思想，多種數學思想間的融合，往往產生1+1＞2的思維推進效果。而“對應思想”溝通聯系的核心特性，則是融合各種數學思想過程中的思維催化劑。

1.面積教學中的對應思想

小學數學面積公式推導中，往往滲透了轉化思想，將未知轉化為已知，在這一轉化過程中，“對應思想”起到階梯的作用，溝通起新舊知識之間的聯系。以《平行四邊形的面積》為例（見圖2），平行四邊形的面積對應轉化后的長方形面積，其中長方形的長對應平行四邊形的底，長方形的寬對應平行四邊形的高，因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

圖2

2.函數教學中的對應思想

函數思想的本質是兩個變量之間的對應關系，脫離對應思想，函數思想也不可能孤立存在。小學階段滲透函數思想，尤其在數的運算中體現得更加淋漓盡致。教材往往通過圖表，使函數思想的核心——對應關系直觀化。如在反比例關系圖像中，學生可以直接利用圖像上的點與數對的一一對應關系解決簡單的反比例問題，初步感受函數思想，體會一個集合中數經過運算得到另一集合的數，溝通兩個集合之間的聯系。

3.建模教學中的對應思想

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將模型思想列為十大核心概念，既確立了模型思想的重要地位，又凸顯了其在解決問題中的應用價值。在具體問題情景中抽象出數學問題，建立模型的過程中，“對應思想”溝通聯系的特性使隱藏的數量關系更容易被學生發現。以植樹問題為例，引導學生通過化曲為直的辦法畫出線段圖幫助思考，發現間隔數與棵樹一一對應，通過與之前兩種植樹情況對比，學生不難概括出一端不栽的情況下，棵數=間隔數。

三、應用得法──把握“對應思想”的關鍵

中央教科所趙裕春提出：能力就是運用已有知識和思想方法，解決沒有做過的問題。在解決問題過程中，要求學生能綜合應用所學過的方法與策略，無疑“對應思想”是解決問題的重要策略，如何應用得法？也是學生今后形成能力的關鍵。

1.掌握數數與比多少

在第一學段數數與比多少解決問題中，教材時常會將兩個集合中元素以一一對應的形式直觀呈現。如二上教材中的這道解決問題（見圖3），就是通過呈現畫圖的策略分析問題，進而把握圖形中的關鍵數量“對應”關系，學習掌握解決此類問題的步驟和策略。

2.優化解決問題策略

巧妙應用“對應思想”是優化解題策略、提升思維品質的關鍵。如三上教材中有這樣一道思考題（見圖4）。如果用常規做法思考比較難，用一一對應的思想來分析則相對簡單：2人一對一比賽一場淘汰一人，沒有比賽就不淘汰人，兩組一共32人，最后剩兩人進行決賽，總共需要淘汰30人，也就是要進行30場比賽，即比賽場次和淘汰人數一一對應。

圖4

3.破解正方體展開圖

“對應思想”還有助于破解空間想象壁壘，發展空間觀念。判斷一個展開圖能否折疊成正方體，涉及到二維和三維之間的轉換，直接想象難度比較大。教學中應引導學生將展開圖六個面用文字符號標記，通過觀察，學生不難發現，展開圖中相對的面是對應隔開的，即前后對應、上下對應、左右對應，根據這一對應關系容易進行判斷。如圖5，先確定一個前面之后，右面沒有一個左面與之對應，也就是右面重復了；雖然圖6圖形比較復雜，但由于每個面都有其對應面存在，因此可以折疊成正方體。

圖5

圖6

四、理性創造──把握“對應思想”的升華

在小學數學教學中，應當注意把握“對應思想”的升華美和境界美，引導學生從中發現美、欣賞美、創造美，在充分認識和感受數學外在形式的美好同時，提升對數學內在本質的理性欣賞，有效激發學生學習的內驅力。這不僅提升學生的數學素養，也是對學生理性認知上的一種升華。

1.創造對應數字美

數學中的對應數字美時常出現在探索運算規律中，如圖7的算式就具有典型的對應數字美。教學時可以先讓學生計算前幾個算式的得數，之后引導學生觀察，前幾個算式與得數又有什么特點？學生很快發現：左邊算式中乘法式子第一個因數是從“1”開始對應依次末尾添“2”、添“3”……第二個因數都是9，加數則是從“2”開始依次對應加1，而右邊得數“1”的個數與左邊加數的數字對應相關。發現規律后，再運用規律解決問題，容易得出后面幾個算式的得數。金字塔式的算式最終創造完畢，擺在學生面前，使學生體驗到成功喜悅的同時，也讓學生感受到數學世界的奇妙多姿。［4］

圖7

2.創造對應建構美

數學“對應”美是含蓄的、抽象的，它隱藏在數學探索和發現的過程中。用心體會和創造，就不難發現數學知識所蘊含的美。例如，在一下總復習中加法表的建構過程，既是對所學全部加法算式的全面整理，又是學生體會加法表中排列規律的豐富性和多樣性的重要途徑。（如圖8）每行與列的交叉點均對應一個相應的加法算式，從不同角度觀察加法表，在發現規律的同時，學生會發現，原來抽象的加法算式通過列表建構、直觀呈現，可以如此生動形象，在和諧統一中相互關聯，賦予學生一種豁然開朗、理性升華的體驗。

3.創造對應圖形美

眾多經典藝術作品都與圖形運動和變化有關，其中包含了平移、旋轉、對稱等現象，其數學本質是幾何圖形上的點集之間的一種映射，即已知圖形與變化后圖形之間呈“對應”關系。在教學過程中，可以讓學生學習相關知識點后，設計創造“對應”的圖形。這樣的設計活動，有助于學生的認識從感性上升到理性，讓學生在提升綜合應用所學知識能力的同時，也為理性創造出的數學之美所折服。

圖8

綜上所述，教師應當深入了解和把握“對應思想”，并有意識地在教學中向學生滲透，逐步培養學生學會用數學的眼光觀察世界、分析問題和解決問題，全面提升數學思維品質。