小學(xué)數(shù)學(xué)類比推理法的應(yīng)用

肖 捷

（福州市寧化小學(xué)，福建 福州 350001）

在現(xiàn)今的教學(xué)中，不僅要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，還要努力挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成和發(fā)展過(guò)程中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生掌握并學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)的思想和方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力。數(shù)學(xué)的思想方法有很多，其中類比推理法就是一種重要的、使用得很普遍的思想方法。數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在數(shù)學(xué)的王國(guó)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具就是歸納和類比。”類比思想的滲透對(duì)于學(xué)生的知識(shí)遷移、建構(gòu)系統(tǒng)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力有著至關(guān)重要的作用。因此，在教學(xué)中，可運(yùn)用類比推理法去探究新知，總結(jié)規(guī)律；去激發(fā)創(chuàng)新思維，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力；去建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓知識(shí)更加系統(tǒng)化。

一、類比推理法在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中的典型應(yīng)用

縱觀小學(xué)階段的各學(xué)段與各領(lǐng)域，可以發(fā)現(xiàn)類比推理思想方法的滲透主要是在數(shù)與代數(shù)，空間與圖形這兩大領(lǐng)域中。且在第一學(xué)段相對(duì)滲透的比較少，多是在第二學(xué)段進(jìn)行滲透。因?yàn)榈诙W(xué)段，很多知識(shí)點(diǎn)的邏輯性更強(qiáng)，必須運(yùn)用一定的推理才能得出結(jié)論。此時(shí)，教師就可以根據(jù)不同的教材內(nèi)容，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)知識(shí)間的聯(lián)系進(jìn)行大膽地猜想，給他們充分的動(dòng)手操作、驗(yàn)證的時(shí)間和空間，讓他們?cè)谟^察、猜想、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，培養(yǎng)創(chuàng)造力。

如第一學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容中，學(xué)習(xí)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法（三下）”，可以借助除數(shù)是一位數(shù)除法的豎式計(jì)算類比推理出除數(shù)是兩位數(shù)的豎式計(jì)算；學(xué)習(xí)“簡(jiǎn)單的小數(shù)加減法（三下）”，借助整數(shù)的豎式計(jì)算類比出小數(shù)的豎式計(jì)算。

第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容中，學(xué)習(xí)“億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)（四上）”，可以根據(jù)個(gè)級(jí)的讀寫(xiě)法，類比推理出萬(wàn)級(jí)和億級(jí)的讀寫(xiě)法；根據(jù)萬(wàn)以內(nèi)數(shù)比較大小類比推理出億以內(nèi)比較大小的方法；學(xué)習(xí)“筆算乘法（四上）”，可以借助兩位數(shù)乘兩位數(shù)類比出三位數(shù)乘兩位數(shù)豎式計(jì)算和算理；學(xué)習(xí)“小數(shù)的大小比較（四下）”小數(shù)部分的比較類比整數(shù)的大小比較，注意有所區(qū)別，小數(shù)不是位數(shù)越多就越大，這點(diǎn)和整數(shù)大小比較有不同；學(xué)習(xí)“小數(shù)的加法和減法（四下）”，可以借助整數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算類比出小數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算；學(xué)習(xí)“小數(shù)乘法（五上）”，可以借助整數(shù)乘法的計(jì)算法則類比出小數(shù)乘法的計(jì)算法則。運(yùn)用整數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序以及整數(shù)乘法的運(yùn)算定律類比出在小數(shù)范圍內(nèi)同樣適用；“小數(shù)除法（五上）”，整數(shù)除法法則類比出小數(shù)除法法則；“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（五下）”，可以利用商不變性質(zhì)類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；“分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算（五下）”，從整數(shù)混合運(yùn)算和加法簡(jiǎn)便計(jì)算定律類比出分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算定律；學(xué)習(xí)“比的基本性質(zhì)（六上）”，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比出比的基本性質(zhì)。

第二學(xué)段“空間與圖形”內(nèi)容中，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積（五上）”，通過(guò)將平行四邊形的底和高分別轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，類比出平行四邊形的面積公式；學(xué)習(xí)“圓柱的體積（六下）”，利用長(zhǎng)方體的體積公式類比出圓柱的體積公式。

二、類比推理法的應(yīng)用使教學(xué)效果事半功倍

1.利用類比推理法探究新知總結(jié)規(guī)律

小學(xué)教材中有不少計(jì)算的例題都是通過(guò)學(xué)生自己的觀察和猜想，比如前文提到的整數(shù)計(jì)算、小數(shù)計(jì)算、分?jǐn)?shù)的計(jì)算等，把新知識(shí)和舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)去進(jìn)行類比推理，而后從類比中去推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)算理算法，然后驗(yàn)證并總結(jié)計(jì)算規(guī)律。比如簡(jiǎn)單的小數(shù)加減法，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了整數(shù)加減法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。課程一開(kāi)始，教師可以先幫助學(xué)生復(fù)習(xí)整數(shù)加減法的算理和算法，而后直接出示例題：2.3+5.4等于幾元。教師可先引導(dǎo)學(xué)生觀察題目與舊知有什么不同，并追問(wèn)整數(shù)的加減法是否適用于小數(shù)，然后讓他們展開(kāi)小組討論嘗試解決。學(xué)生大部分都能用整數(shù)加減法的算理和算法來(lái)嘗試推出小數(shù)計(jì)算的方法，最后再通過(guò)驗(yàn)證，即把這些一位小數(shù)化成價(jià)格幾元幾角來(lái)計(jì)算后，發(fā)現(xiàn)得數(shù)是正確的，證明推測(cè)的算法和算理正確。可見(jiàn)，類比推理法也是一種合情推理，應(yīng)用得當(dāng)可以幫助學(xué)生通過(guò)探究推測(cè)出解題的方法及蘊(yùn)含的普遍規(guī)律。但由于合情推理是一種或然性的推理，還需要通過(guò)驗(yàn)證才能確定推斷的真?zhèn)涡浴＞拖裆厦嫘?shù)的計(jì)算，學(xué)生雖然用類比推理法嘗試解決問(wèn)題，但最后還是要通過(guò)驗(yàn)證來(lái)證實(shí)它的準(zhǔn)確性。通過(guò)用類比推理的方法嘗試自己去探究和總結(jié)，很好地培養(yǎng)了學(xué)生探究和總結(jié)的能力。

2.利用類比推理法激發(fā)思維解決問(wèn)題

類比推理法其實(shí)就是在解決問(wèn)題的時(shí)候，能運(yùn)用已有的舊知，通過(guò)聯(lián)想一個(gè)其他類似的熟悉的問(wèn)題，然后用熟悉的方法去解答所需解答的問(wèn)題。比如小學(xué)數(shù)學(xué)中的有些知識(shí)是學(xué)生不容易理解的，如果在教學(xué)中，講授新知的時(shí)候聯(lián)系舊知，將新舊知識(shí)類比分析，就能讓學(xué)生更加理解知識(shí)，也容易突破難點(diǎn)，降低教學(xué)的難度。如在教學(xué)《圓柱的體積》時(shí)，可以恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比推理的思維方法。比如教師可以通過(guò)設(shè)計(jì)一些具體情境引導(dǎo)他們?nèi)ハ耄洪L(zhǎng)方體和正方體的體積都是等于底面積×高，而這些圖形圓柱都屬于直柱體，所以通過(guò)類比推理去猜想圓柱的體積是否也可以用底面積×高來(lái)計(jì)算，然后再引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手探究驗(yàn)證。這樣的教法和學(xué)法使得新知識(shí)不新，舊知識(shí)不舊，學(xué)生容易理解和接受。由此可見(jiàn)，使用舊知識(shí)的類比推理，能使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的時(shí)候易于同化，從而學(xué)得輕松，教師也教得愉快，同時(shí)又能激發(fā)學(xué)生的積極思維。但要求教師在教學(xué)過(guò)程中，也要相應(yīng)地創(chuàng)設(shè)有創(chuàng)造性思維的教學(xué)情境，或者采用開(kāi)放式教學(xué)，多放手讓學(xué)生自己去經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造和總結(jié)的過(guò)程。

3.利用類比推理法構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)梳理知識(shí)

類比推理法除了能用來(lái)教授學(xué)習(xí)新知，還可以幫助復(fù)習(xí)形成概念構(gòu)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。小學(xué)數(shù)學(xué)的同一類知識(shí)，很多都是碎片化地分散在小學(xué)的各個(gè)階段。教師要帶領(lǐng)學(xué)生在觀察、類比中區(qū)分事物的異同，從具體事物中區(qū)分出最本質(zhì)的屬性，形成“科學(xué)概念”，以便構(gòu)成系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。如在五年級(jí)期末復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形面積時(shí)，教師可以利用表格，將這些圖形的特點(diǎn)以及面積的計(jì)算公式作比較（如表1）：

表1

教師提問(wèn)：“大家仔細(xì)觀察一下剛才整理的所有圖形面積的計(jì)算，有什么異同點(diǎn)？”而后逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察，求這些圖形面積都需要底乘高，但是三角形和梯形又在這基礎(chǔ)上有所不同。這樣借助類比的方法同中求異，有助于學(xué)生形成相對(duì)完整和系統(tǒng)的空間概念，建構(gòu)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，自然地記住公式，不需要費(fèi)力地死記硬背，梳理了看似繁雜的知識(shí)體系。當(dāng)然，這樣讓學(xué)生在課堂上自如地使用類比推理法，必須要培養(yǎng)出學(xué)生的歸納總結(jié)能力。只有當(dāng)學(xué)生能概括出不同知識(shí)相同或相似的特性時(shí)，才能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比。韓愈提倡讀書(shū)學(xué)習(xí)先要入書(shū)，后要出書(shū)，要先把書(shū)讀厚，再把書(shū)讀薄。也就是說(shuō)，要先總結(jié)概括，才能深入認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。同樣的，教師是教學(xué)的引導(dǎo)者，也要自覺(jué)地學(xué)習(xí)和豐富自己的專業(yè)及理論知識(shí)。只有自己充實(shí)起來(lái)，才能將正確的數(shù)學(xué)思想方法逐漸滲透到學(xué)生的思維中去；只有在知識(shí)上融會(huì)貫通了，才能更好地在數(shù)學(xué)課堂上啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生，實(shí)現(xiàn)縱橫類比。而且，當(dāng)有些知識(shí)書(shū)本并沒(méi)有明確給出要求時(shí)，就要挖掘教材中的潛在知識(shí)，必要時(shí)要給予補(bǔ)充。

總之，類比推理的思想方法博大精深，使用時(shí)通常能夠收到嚴(yán)格邏輯推理所不能達(dá)到的效果。在數(shù)學(xué)課上潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力，既能提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，改善思維品質(zhì)，又能培養(yǎng)創(chuàng)造性，使學(xué)生將來(lái)的發(fā)展有了無(wú)限可能。